Demostrar que si $f$ es aditivo, fija el origen y es continuo en él, entonces $f$ es continua en $\Bbb R$

Question

Como se trata de un ejercicio bastante básico, estoy seguro de que hay muchas otras formas de demostrarlo, pero lo que dudo es que la que se me ha ocurrido se mantenga:

Por el hecho de que $f$ es aditivo y $f(0)=0$ se deduce fácilmente que $f(x-y)=f(x)-f(y)$ . El hecho de que $f$ es continua en $0$ significa que para cualquier $\forall \epsilon.\exists \delta : |x|<\delta \implies |f(x)|<\epsilon$ . Por lo tanto, $|x_1-x_2|<\delta \implies |f(x_1-x_2)|<\epsilon$ y $|f(x_1-x_2)|=|f(x_1)-f(x_2)|$ lo que significa que para cualquier $\forall x_1,x_2,\epsilon.\exists \delta : |x_1-x_2|<\delta \implies |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$ . Esta es una definición de continuidad.

¿Es esto válido?

Answer 1

Lo que hizo OP es suficiente para demostrar que $f$ es continua. Aquí está mi intento. En primer lugar, es sencillo ver que $f(x-y)=f(x)-f(y)$ .

Ahora tome cualquier $a\in \mathbb{R}$ queremos mostrar $f$ es continua en $a$ . Sea $\epsilon >0$ sea arbitraria, queremos demostrar que existe $\delta>0$ tal que $|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$ .

Desde $f$ es continua en $0$ sabemos que existe algún $\delta'>0$ tal que $|y|=|y-0|<\delta' \Rightarrow |f(y) - f(0)| = |f(y)|<\epsilon$ . Elija esto $\delta'$ como el $\delta$ estamos buscando. Así que dejemos $\delta = \delta'$ . Compruebe que $|x-a|<\delta = \delta' \Rightarrow |f(x-a)|<\epsilon \Rightarrow |f(x)-f(a)|< \epsilon.$ Por lo tanto, $f$ es continua en $a$ .

Por lo que hizo OP, podemos decir que $f$ también es uniformemente continua, lo que es más fuerte que la continuidad.