Pregunta límite sobre el cociente de dos funciones.

Question

Dejemos que $f(x)$ y $g(x)$ sean dos funciones continuas tales que

• $f(a) = g(a) = 0$ .
• En el límite como $x \to a$ , $f'(x)/g'(x) \to 1$ . (Por la regla de L'Hôpital, esto implica, por supuesto, que $\lim_{x \to a} f(x)/g(x) = 1$ .)
• $f'(x) > g'(x)$ para todos $x > a$ .

¿Es entonces cierto que $f(x)/g(x) > 1$ para todos $x > a$ ? Si no, ¿cuáles serían las condiciones adicionales suficientes para que esto sea cierto? Tengo la impresión de que debería haber una prueba sencilla de este hecho, pero he estado trabajando en círculos sobre este problema y no consigo dar con ella.

(Para que conste, el problema específico que me interesa es $a = 1$ , $f(x) = x^\gamma - 1$ y $g(x) = \gamma(x - 1)$ con $\gamma$ cualquier número real estrictamente mayor que 1).

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$ para algunos $c$ entre $a$ y $x$ , por Teorema del valor medio de Cauchy . Así que

Tenga en cuenta que mi respuesta asume que siempre tiene $g'(x)\neq0$ .