Obtención del polinomio característico a partir de una matriz pequeña

Question

Lo siento, no sé cómo formatear las matrices, pero si tengo esta matriz

$\pmatrix{1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1 &0& 1\\}$

¿Cómo es el polinomio característico $^3 2^2 + 1$ ? ¿Existe algún método para obtener el polinomio característico a partir de una matriz?

EDITAR:

$\text{Det}(A - \lambda I)$ significa

$\pmatrix{1-\lambda& 1& 0\\ 0& -\lambda& 1\\ 1 &0& 1-\lambda\\}$

por lo que el determinante de esta matriz es

$= (1-\lambda)((-\lambda)(1-\lambda) - (1)(0)) - (1)((0)(1-\lambda)-(1)(1)) + (0)((0)(0) - (-\lambda(1)))$

$= -\lambda^3+2 \lambda^2-\lambda+1$

¿Eh, parece ser similar, pero los signos son diferentes?

Answer 1

En la mayoría de los cursos elementales de álgebra lineal se busca el polinomio característico como medio para estudiar los valores propios. Dado un $n \times n$ matriz $A$ , $A$ tiene un valor propio $\lambda \in \mathbb{R}$ si existe $v \in \mathbb{R}^n$ tal que $$Av = \lambda v$$ Pero entonces tenemos $(A - \lambda I)v = 0$ . Por definición, $A-\lambda I$ no es entonces invertible y por lo tanto tiene $0$ determinante. Así que los valores propios son las soluciones de la ecuación $\det(A-\lambda I) = 0$ . El hecho de que los signos sean diferentes en su caso no importa: las soluciones de cualquier polinomio $p(x)=0$ son las mismas que las soluciones de $-p(x)=0$ .

Answer 2

Como se menciona en los comentarios, sólo se encuentra $\det(A-\lambda I)$ (o $\det(\lambda I-A)$ si quiere que el término principal sea positivo). Alternativamente, si encuentras todos los valores propios (complejos) $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ , contado con multiplicidad, entonces el polinomio característico será $(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)$ . En este caso particular, querrás hacer el primer método porque las raíces del polinomio característico de $A$ son bastante desagradables:

~ WolframAlpha