¿Cuáles son las variables macroscópicas relevantes para un "bitgas"?

Question

Las variables macroscópicas clásicas que se suelen medir para un gas ideal son $P$ , $V$ , $T$ , $n$ presión, volumen, temperatura y cantidad, respectivamente. Tengo curiosidad por saber cuáles son las variables correspondientes para un sistema análogo que llamaré "bitgas", y la relación entre la infodinámica y la termodinámica.

Un "bitgas" a efectos de esta pregunta es una cadena sobre el alfabeto $\{0,1\}$ que se escribe en el estado de un sistema físico localizado. Es decir, hay una frontera cerrada de 3 dim'l alrededor del sistema, con volumen finito.

Como ejemplo, tomemos un disco duro de estado sólido $H$ cuya capacidad $C = 15 \, mol*bit$ o ~1 yottabyte. Supongamos que el volumen es $V= 66.8 cm^{3}$ . Si se cumple la ley de Moore, un dispositivo de este tipo podría ser habitual en 2040. El disco duro está en una sala de $300Kel$ y podemos o no conectar un cable $I/O$ (un cable USB, o SATA + alimentación) que puede transferir datos y/o alimentación.

Dejemos que $x$ sea una cadena de bits que represente el estado del disco duro. $I/O$ puede actuar sobre $x$ de una de estas tres maneras i) $swap_{ij}$ , aplique una transposición $(i\,j)$ intercambiando los bits en la posición $i,j$ ii) $write_{i}(y)$ donde $y\in\{0,1\}$ y el bit en la posición $i$ es $y$ después de la operación iii) $read_i$ transfiere el bit $y_i$ fuera de posición $i$ .

En esta analogía, los átomos, la mecánica y la carcasa del disco duro representan el "contenedor" clásico, y el $1's$ que se escriben en el disco duro son los "átomos de gas". En el escenario clásico, el gas es lo que tiene propiedades termodinámicas macroscópicas como la presión y la temperatura. Aquí, el disco duro tiene, por supuesto, una temperatura y ocupa un volumen, pero es un sólido. Cambiar la temperatura por debajo de una determinada temperatura crítica $T_c$ a la que el disco duro se funde o se quema no debería afectar $x$ .

Definir las siguientes variables para el bitgas $H$ :

• $K$ = contenido de información, la complejidad de Kolmogorov $K(x)$
• $C$ = capacidad de $H$
• $T$ = temperatura de $H$
• $n_1$ = número de unos en $x$

$n_0 = C - n_1$ es el número de ceros.

Supongamos que $n_0=n_1=r$ para que haya tantos 0 como 1, y restringir al caso en el que sólo permitimos la operación $swap$ .

Para cualquier algoritmo de compresión, sabemos que algunas cadenas serán incompresibles y tendrán un gran contenido de información, por lo que $K\approx C$ . Otras cadenas, como $x_r=0^{r} 1^{r}$ tienen un bajo contenido de información.

$n_1/(n_0+n_1)=r/C=1/2$ es constante en este ejemplo. Sin embargo, si calentamos muy lentamente el disco duro cerca de su temperatura de fallo $T_c$ esperamos que se produzcan errores y que los bits empiecen a voltear, lo que puede cambiar $n_1/C$ .

Si inicializamos el disco duro a un estado inicial $x_r$ Parece que $K_0=K(x_r)$ es pequeño y constante mientras que $T<<T_c$ pero como $T$ se acerca a la temperatura crítica $K$ comienza a aumentar hasta alcanzar $\approx C$ .

Cuando $K\approx C$ habremos puesto alrededor de $15*N_{A}*k_{B}*300Kel \approx 37kJ$ en el bitgas.

Uno podría imaginarse sosteniendo una vela en, por ejemplo, una esquina del disco duro. Si ese lado es todo ceros, empezará a corromperse. Esta parte "corrupta" contendría mucha información sobre el lugar donde se sostuvo la llama.

Un ejemplo menos extremo sería poner el disco duro en un plato caliente, y aumentar lentamente la temperatura hasta que los bits empiecen a voltear.

Parece que $K$ depende de $T$ y me pregunto cuál es la relación, exactamente. En otras palabras, ¿qué es $\displaystyle \frac{\partial K}{\partial T}$ cuando $C$ se mantiene constante?

Señalaré que $K$ depende de $n_1$ . Cuando $n_1=C$ todos los bits son 1, que es un estado altamente compresible, por lo que $K \approx \log(C)$ .

Answer 1

Si el nivel de energía del "bitgas" no depende del número de bits en el estado 0 y en el estado 1, entonces todos los microestados tienen el mismo nivel de energía, y el sistema es un ejemplo de la conjunto microcanónico .

El equilibrio termodinámico de este sistema es el macroestado en el que todos los microestados tienen la misma probabilidad. Este estado tiene una entropía S = N*log(2), donde N es el número de bits, que se llama capacidad C.

Nótese que para el conjunto microcanónico la temperatura no es una cantidad relevante. La temperatura cuantifica cuántos microestados más se hacen accesibles cuando se transfiere energía al sistema desde el entorno. Pero si no se puede transferir energía entre el sistema y su entorno porque la energía total del sistema no puede variar, entonces la temperatura es irrelevante.

Si su sistema se congela inicialmente en un estado específico $x_r$ y hay una barrera de energía asociada al cambio de estado (volteo o intercambio de espines), entonces el problema se convierte en un ejemplo de termodinámica de no-equilibrio . La velocidad con la que el sistema se acercará al equilibrio de alta entropía desde su estado inicial de baja energía dependerá de la temperatura del entorno. Es importante señalar que para cualquier temperatura superior a cero, el sistema acabará alcanzando su equilibrio, la cuestión es sólo cuánto tiempo pasa antes de que ocurra.