cómo probar: $A=B$ si $A\bigtriangleup B \subseteq C$

Question

Me han dado esto: $A=B$ si $A\bigtriangleup B \subseteq C$ . Y $A\bigtriangleup B :=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ .

No sé cómo probar esto y no sé por dónde empezar.

por favor, guíenme

Answer 1

Pista: Para un conjunto arbitrario $C$ ¿Qué es el un único conjunto que es el subconjunto de cada conjunto?

Así que dado $\,A\triangle\,B \subseteq C$ , donde $C$ es cualquier conjunto arbitrario, ¿qué te dice esto sobre el conjunto $A\triangle B$ ?

¿Y qué hace que te hable de la relación entre $A$ y $B$ ?

Answer 2

Aquí hay otra forma de hacerlo, en la que el conjunto vacío queda casi automáticamente fuera del cálculo.

Tienes que demostrar que $A = B \;\equiv\; \langle \forall C :: A \Delta B \subseteq C \rangle$ . (Tenga en cuenta que escribo $\equiv$ donde muchos otros escriben $\Leftrightarrow$ .)

Una heurística que suele funcionar a la hora de demostrar afirmaciones sobre conjuntos, es utilizar establecer la extensibilidad ("dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos") y algo similar para $\subseteq$ etc. Esa traducción nos lleva del nivel de los conjuntos al nivel lógico, donde suelen aplicarse leyes más sencillas. Por ejemplo, tenemos la siguiente ley (que puede utilizarse como definición) para $\Delta$ : $$ (0) \;\;\;\;\; x \in A \Delta B \equiv x \in A \not\equiv x \in B $$ Ahora viendo el problema en estos términos, hay que demostrar que $$ \langle \forall x :: x \in A \equiv x \in B \rangle $$ equivale a $$ \langle \forall C :: \langle \forall x :: x \in A \Delta B \Rightarrow x \in C \rangle \rangle $$ Otra heurística es que si se necesita demostrar una relación (aquí: equivalencia), se empieza por el lado más complejo (aquí: la última expresión), y se transforma hasta llegar al otro lado. Así que podemos calcular de la siguiente manera: $$ \begin{align} & \langle \forall C :: \langle \forall x :: x \in A \Delta B \Rightarrow x \in C \rangle \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\Delta$ -- really the only thing we can do"} \\ & \langle \forall C :: \langle \forall x :: (x \in A \not\equiv x \in B) \Rightarrow x \in C \rangle \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: expand $\Rightarrow$ -- work towards our goal by introducing $x \in A \equiv x \in B$"} \\ & \langle \forall C :: \langle \forall x :: (x \in A \equiv x \in B) \lor x \in C \rangle \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: exchange quantifications -- to bring $\forall C$ nearer the only place it is used"} \\ & \langle \forall x :: \langle \forall C :: (x \in A \equiv x \in B) \lor x \in C \rangle \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: move $x \in A \equiv x \in B$ outside of $\forall C$ -- again to move $\forall C$ nearer its use"} \\ & \langle \forall x :: (x \in A \equiv x \in B) \lor \langle \forall C :: x \in C \rangle \rangle \\ \end{align} $$ En este punto estamos casi donde queremos estar, excepto por ese molesto $\langle \forall C :: x \in C \rangle$ . Para progresar, tenemos que pararnos a pensar: dada cualquier $x$ Cuando es $\langle \forall C :: x \in C \rangle$ ¿Es cierto? Es decir, ¿qué $x$ es un elemento de cada ¿conjunto? La respuesta, obviamente, es que no existe tal $x$ ya que el conjunto vacío no tiene elementos: $$ \begin{align} & \langle \forall C :: x \in C \rangle \\ \Rightarrow & \;\;\;\;\;\text{"choose $C := \emptyset$"} \\ & x \in \emptyset \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\emptyset$"} \\ & \textrm{false} \\ \end{align} $$ (Nótese que se trata de una prueba por contradicción para demostrar que $\langle \forall C :: x \in C \rangle \equiv \textrm{false}$ .) Por lo tanto, podemos completar nuestro primer cálculo: $$ \begin{align} & \langle \forall x :: (x \in A \equiv x \in B) \lor \langle \forall C :: x \in C \rangle \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"by our second calculation"} \\ & \langle \forall x :: (x \in A \equiv x \in B) \lor \textrm{false} \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify"} \\ & \langle \forall x :: x \in A \equiv x \in B \rangle \\ \end{align} $$ Con todo esto, hemos demostrado que $\langle \forall C :: A \Delta B \subseteq C \rangle \equiv A = B$ que es lo que te has propuesto demostrar.