Permítanme comenzar con algunas observaciones sobre el método simbólico clásico (sin el cual no se puede entender la teoría invariante del siglo XIX) y las funciones multisimétricas. Primero utilizaré un ejemplo. Tomemos cuatro series de tres variables $a=(a_1,a_2,a_3)$ , $b=(b_1,b_2,b_3)$ , $c=(c_1,c_2,c_3)$ y $d=(d_1,d_2,d_3)$ . Ahora defina el polinomio $\mathcal{A}$ en estas 12 indeterminaciones dadas por $$ \mathcal{A}=(bcd)(acd)(abd)(abc) $$ donde utilizamos una notación abreviada para los determinantes $$ (bcd)=\left| \begin{array}{ccc} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ \end{array} \right| $$ y de forma similar para los otros "factores del soporte" $(acd)$ etc. Este es un ejemplo de función multisimétrica en las "letras" $a,b,c,d$ que es multihomogénea de varios grados $[3,3,3,3]$ . Permítanme escribir $M_{[3,3,3,3]}^3$ para el espacio de tales funciones multisimétricas. El subíndice es el multigrado mientras que el superíndice se refiere al número de variables de cada serie. El grupo simétrico que actúa es $\mathfrak{S}_4$ que permuta estas series. Si cada serie tuviera una variable en lugar de tres, estaríamos en el ámbito familiar de la teoría de las funciones simétricas ordinarias. La teoría análoga de las funciones multisimétricas es mucho más complicada y ha sido estudiada clásicamente por Euler, Lagrange, Poisson, Schläfli, Brill, Gordan, Junker y más recientemente por Angeniol, Dalbec, Briand, Vaccarino, Domokos y otros. Una buena y antigua referencia sobre esto es el libro sobre teoría de la eliminación de Faa di Bruno que mencioné en esta respuesta de MO .
Consideremos ahora una forma cúbica ternaria genérica $F=F(x_1,x_2,x_3)$ . Se puede escribir como $$ F(x)=\sum_{i_1,i_2,i_3=1}^3 F_{i_1,i_2,i_3} x_{i_1} x_{i_2} x_{i_3} $$ donde $(F_{i_1,i_2,i_3})$ es un tensor simétrico (me refiero a una "matriz" y no a un tensor de Bourbaki). Esta forma vive en la potencia simétrica $S^3(\mathbb{C}^3)$ pero seré (intencionalmente) descuidado y escribiré $S^3$ en su lugar. El espacio de polinomios homogéneos de grado 4 en los coeficientes de $F$ se denotará por $S^4(S^3)$ .
Permítanme definir un mapa lineal $\Phi:S^4(S^3)\rightarrow M_{[3,3,3,3]}^3$ de la siguiente manera. Dado un polinomio homogéneo de grado cuatro $C(F)$ primero construye su polarización completa $$ \widetilde{C}(F_1,F_2,F_3,F_4)=\frac{1}{4!} \frac{\partial^4}{\partial t_1\partial t_2\partial t_3\partial t_4} C(t_1F_1+t_2 F_2+t_3 F_3+t_4 F_4) $$ que satisface $\widetilde{C}(F,F,F,F)=C(F)$ . Ahora, establezca $F_1(x)=a_{x}^3$ donde $a_x$ es la notación clásica para la forma lineal $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3$ y de manera similar se especializan en los cubos de las formas lineales $F_2(x)=b_{x}^3$ , $F_3(x)=c_{x}^3$ y $F_4(x)=d_{x}^3$ . Por último, defina $\Phi(C)=\widetilde{C}(F_1,F_2,F_3,F_4)$ .
También definiré otro mapa lineal $\Psi: M_{[3,3,3,3]}^3\rightarrow S^4(S^3)$ . Sea $\mathcal{S}=\mathcal{S}(a,b,c,d)$ sea una función multisimétrica en $M_{[3,3,3,3]}^3$ . Definimos el operador diferencial $$ \mathcal{D}=\frac{1}{3!^4} F\left(\frac{\partial}{\partial a_1},\frac{\partial}{\partial a_2},\frac{\partial}{\partial a_3}\right) F\left(\frac{\partial}{\partial b_1},\frac{\partial}{\partial b_2},\frac{\partial}{\partial b_3}\right) $$ $$ F\left(\frac{\partial}{\partial c_1},\frac{\partial}{\partial c_2},\frac{\partial}{\partial c_3}\right) F\left(\frac{\partial}{\partial d_1},\frac{\partial}{\partial d_2},\frac{\partial}{\partial d_3}\right) $$ y que $\Psi(\mathcal{S})=\mathcal{D}\ \mathcal{S}$ es decir, el resultado de aplicar el operador diferencial $\mathcal{D}$ al polinomio $\mathcal{S}$ .
No es difícil ver que $\Phi$ y $\Psi$ son inversos entre sí. En el caso particular de $\mathcal{A}$ arriba, la imagen $\Psi(\mathcal{A})$ es el grado cuatro de Aronhold $SL_3$ invariante de los cúbicos planos y $\mathcal{A}$ se llama la forma simbólica (alemana) de ese invariante. Los clásicos suelen omitir " $\Psi(\cdots)$ ", pero ellos sabían perfectamente lo que estaban haciendo. Nótese también que este formalismo, en una forma esencialmente equivalente, fue inventado antes por Cayley como expliqué brevemente en la sección 1.11.4 de mi artículo "Un teorema de Kolmogorov-Chentsov de segunda cuantificación" . Se puede escribir fácilmente $\Psi(\mathcal{A})$ aplicado a $F$ en notación de contracción tensorial "física" como $$ \epsilon_{i_{1} i_{2} i_{3}}\epsilon_{i_{4} i_{5} i_{6}}\epsilon_{i_{7} i_{8} i_{9}}\epsilon_{i_{10} i_{11} i_{12}} F_{i_{4} i_{7} i_{10}} F_{i_{1} i_{8} i_{11}} F_{i_{2} i_{5} i_{12}} F_{i_{3} i_{6} i_{9}} $$ con suma sobre los doce índices del conjunto $\{1,2,3\}$ . He utilizado la notación física estándar para el tensor de Levi-Civita $\epsilon_{i_1 i_2 i_3}$ igual a cero si algunos índices son iguales y en caso contrario al signo de la permutación $i_1,i_2,i_3$ de $1,2,3$ . Esta notación es coherente con la que utilicé en mis respuestas anteriores a estas preguntas de MO: Q1 , Q2 , y Q3 . En el fondo, este es un lenguaje intrínsecamente diagramático y si el lector tuvo problemas para seguir lo que dije hasta ahora, es probablemente porque No he hecho ningún dibujo o "diagrama de Feynman de dimensiones finitas" (no sé cómo hacerlo en MO). Para ver estos dibujos, por favor, echa un vistazo a este artículo sobre un invariante de los trípticos cúbicos o la sección 2 de este principalmente en formas binarias. En pocas palabras, la contracción anterior se puede codificar en un grafo bipartito con 4 $\epsilon$ -verticales y 4 $F$ -vértices, todos de grado tres.
Por supuesto, el formalismo anterior se generaliza sin ninguna dificultad (salvo el manejo de las notaciones) a los pleitos de potencias simétricas $S^p(S^q(\mathbb{C}^n))$ y similares $\Phi$ , $\Psi$ mapas que dan el isomorfismo con el espacio relevante de las funciones multisimétricas, es decir $M_{[q,q,\ldots,q]}^{n}$ (con $q$ repetido $p$ veces) o en notación más sencilla $M_{[q^p]}^{n}$ . Hay una canónica $GL_n$ -mapa equivariante $$ H_{p,q}:S^p(S^q(\mathbb{C}^n))\rightarrow S^q(S^p(\mathbb{C}^n)) $$ con la "H" de Hermite, Hadamard o Howe. No lo definiré aquí, pero es lo primero que se me ocurre si se le pide que produzca un mapa de este tipo (ver esta revisión de Landsberg para una discusión detallada en el contexto más amplio de la teoría de la complejidad geométrica). No es difícil ver que una función multisimétrica homogénea en $M_{[p^q]}^{n}\simeq S^q(S^p(\mathbb{C}^n))$ es a imagen y semejanza de $H_{p,q}$ si es un polinomio en las funciones multisimétricas elementales homogéneas que pertenecen a $M_{[1^q]}^{n}$ . En el contexto del invariante de Aronhold anterior, estas funciones elementales son los coeficientes del polinomio $$ P(x_1,x_2,x_3)=a_x b_x c_x d_x $$ y de forma similar en general.
Finalmente, puedo empezar a discutir la excelente pregunta de Will. Dejemos que $T_{i_1,i_2,i_3}$ denotan el tensor de interés con la acción de $(g,h,k)\in (SL_n)^3$ dado por $$ [(g,h,k)\cdot T]_{i_1,i_2,i_3}=\sum_{j_1,j_2,j_3=1}^{n} g_{i_1 j_1} h_{i_2 j_2} k_{i_3 j_3} T_{j_1,j_2,j_3}\ . $$ Si el tensor de Will tuviera un número par $r$ de índices con la acción de $(SL_n)^r$ la respuesta sería trivial. Tome $n$ copias de $T$ , contrata todos los primeros índices de estas copias con una $\epsilon$ , entonces todos los segundos índices con otro $\epsilon$ etc. Para $r=3$ este invariante tentativo desaparece idénticamente. Sin embargo, se pueden mantener los primeros índices libres, y esto da un mapa $T\mapsto \Gamma(T)=F$ produciendo un $n$ -ary $n$ -ic $F(x_1,\ldots,x_n)$ correspondiente al tensor simétrico $$ F_{i_1\ldots i_n}=\sum_{j_1,\ldots,j_n, k_1\ldots,k_n=1}^{n} \epsilon_{j_1\ldots j_n} \epsilon_{k_1\ldots k_n} T_{i_1,j_1,k_1}\cdots T_{i_n,j_n,k_n}\ . $$ Para la simetría $T$ como el tensor diagonal de Will $D_{ijk}=\delta_{ij}\delta_{ik}$ , esta es la covariante hessiana. La idea de Jason se puede reformular como encontrar un $SL_n$ -invariante $I=I(F)$ de $n$ -ary $n$ -ics $F$ y proponiendo $I(\Gamma(T))$ como respuesta a la pregunta de Will. La cuestión principal es mostrar $I(\Gamma(D))\neq 0$ . Ahora $\Gamma(D)$ es la forma $F(x_1,\ldots,x_n)=n!\ x_1 x_2\cdots x_n$ .
Para $n$ incluso, el grado más pequeño para un invariante de $n$ -ary $n$ -ics $F(x_1,\ldots,x_n)$ es $n$ (único a escala). Su forma simbólica es $$ \mathcal{S_n}=(a^{(1)} a^{(2)}\cdots a^{(n)})^n $$ donde $a^{(1)}=(a_{1}^{(1)},a_{2}^{(1)}\ldots,a_{n}^{(1)}),\ldots,a^{(n)}=(a_{1}^{(n)},a_{2}^{(n)}\ldots,a_{n}^{(n)})$ son $n$ serie de $n$ variables. Sea $I_n=\Psi(\mathcal{S_n})$ denotan este invariante. También se puede escribir $$ I_n(F)=\epsilon_{i_{1,1}\ldots i_{1,n}}\epsilon_{i_{2,1}\ldots i_{2,n}}\cdots\epsilon_{i_{n,1}\ldots i_{n,n}} \ F_{i_{1,1}\ldots i_{n,1}}F_{i_{1,2}\ldots i_{n,2}}\cdots F_{i_{1,n}\ldots i_{n,n}} $$ con la suma sobre los índices comprendidos. La evaluación de $I_n(\Gamma(D))$ es un múltiplo del número de fila-par menos el número de fila-impar $n\times n$ Cuadros latinos. El trabajo de Huang, Rota y Janssen que demuestra que el resultado es distinto de cero es equivalente a la conjetura (ampliamente abierta) de Alon-Tarsi.
Lo siguiente puede ser nuevo (si no es así, por favor, hágamelo saber): Para $n$ impar, el grado más pequeño para un invariante de $F(x_1,\ldots,x_n)$ es $n+1$ (único a escala). Su forma simbólica es $$ \mathcal{S}=(a^{(2)} a^{(3)}\cdots a^{(n+1)})(a^{(1)} a^{(3)}\cdots a^{(n+1)})\cdots(a^{(1)} a^{(2)}\cdots a^{(n)})\ . $$ De nuevo, permítanme definir $I_n=\Psi(\mathcal{S_n})$ . Esto es distinto de cero porque el polinomio en el $a^{(i)}$ no sólo es multihomogénea de varios grados $[n^{n+1}]$ pero también multisimétrica. Por ejemplo, la transposición $a^{(1)}\leftrightarrow a^{(2)}$ intercambia el primer dos factores del soporte mientras que los otros recogen un factor $(-1)$ . Esto da $(-1)^{n-1}=1$ desde $n$ es impar. Otras transposiciones elementales transposiciones $a^{(i)}\leftrightarrow a^{(i+1)}$ pueden ser tratados de la misma manera. Por supuesto $I_3$ es el invariante de grado 4 de Aronhold. No sé si $I_5$ podría ser útil para el estudio de los trípticos quínticos. Me atrevo (¿o es una tontería?) a hacer la siguiente conjetura que creo que es un análogo natural de la conjetura de Alon-Tarsi en el caso de impar.
Conjetura: Para $n$ impar, $I_n$ no desaparece en $F(x_1,\ldots,x_n)=x_1 x_2\cdots x_n$ .
Aquí hay una prueba para $n=3$ . El invariante de Aronhold de grado 4 es la ecuación definitoria de la variedad secante de Verón $\sigma_{3}(v_3(\mathbb{P}^2))$ . Por lo tanto, no desaparece en las formas con rango de frontera $>3$ . El rango de frontera de la forma $x_1 x_2\cdots x_n$ es exactamente $2^{n-1}$ tal y como muestra Oeding en este artículo . El caso $n=3$ relevante para la presente prueba fue mostrada anteriormente por Landsberg y Teitler . QED.
Una última observación sobre el final del argumento de Jason con vistas a producir un invariante explícito de grado moderado: se deduce de lo que he mencionado anteriormente que decir que cualquier función multisimétrica homogénea homogénea en $M_{[p^q]}^{n}\simeq S^q(S^p(\mathbb{C}^n))$ puede expresarse como un polinomio en las elementales es equivalente al mapa Hermite-Hadamard-Howe $H_{p,q}$ siendo suryente y esto es conocido por $p$ grande con un límite explícito debido a Brion (véase la revisión de Landsberg que mencioné). El problema que yo discutía está más cerca del $p=q$ caso relacionado con la conjetura Foulkes-Howe. Se sabe que esta última es falsa, ¡pero no por mucho! (véase este artículo ).
Edición: Me enteré por C. Ikenmeyer que la conjetura sobre la no evanescencia de $I_n$ para $n$ impar no es una novedad y se recoge en la Observación 3.26 de https://arxiv.org/abs/1511.02927 Sin embargo, recientemente me he dado cuenta de que esto es equivalente a la conjetura de Alon-Tarsi para $n$ incluso. De hecho, los invariantes anteriores $I_n$ satisfacen la siguiente identidad: $$ I_n(F(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n)=(-1)^{\frac{n}{2}}\frac{n!}{n^n}\ I_{n-1}(F) $$ para todos $n$ incluso y todas las formas $F$ que sólo dependen de la primera $n-1$ variables.
