Relación entre la ecuación KG y el potencial de Yukawa

Question

Si partimos de la densidad lagrangiana de Klein Gordon y trabajamos a través de la cuantización canónica, podríamos llegar a operadores de campo para campos escalares. Ahora, si resolvemos para el propagador libre llegamos a (en base al momento): $$\Delta(p) = i/(p^2-m^2+i\epsilon).$$ Pero también sabemos que si tomamos la transformada de Fourier del potencial de Yukawa $$\int d^3r \begin{equation} e^{-i\textbf{p*r}}e^{-im*\textbf{r}} \end{equation} = 4\pi/(\textbf{p}^2 + m^2),$$ que según Lancaster y Blundell (pg 161) "es la función de Green para la ecuación de Klein-Gordon independiente del tiempo".

¿Podría alguien explicar en qué parte de la ecuación de KG asumimos la presencia de un potencial similar al de Yukawa? Creía que la ecuación de KG era una ecuación para partículas escalares libres relativistas. ¿Cómo es que una ecuación para una partícula libre conduce a un propagador que asume la presencia de un potencial?

Answer 1

Parece que tu confusión proviene del término "potencial". Permíteme primero presentar la ecuación de Proca: \begin{equation} \partial^\mu F_{\mu \nu}+m^2 A_\nu = 0 \end{equation} Donde $F$ es el tensor de Faraday habitual (el tensor de curvatura gauge). La expansión de esta ecuación conduce a : \begin{equation} \square A_\nu-\partial_\nu \partial^\mu A_\mu + m^2 A_\nu=0 \end{equation} Entonces, imponiendo la condición de la galga de Lorenz $\partial^\mu A_\mu =0$ nos deja: \begin{equation} (\square+m^2)A_\mu=0 \end{equation} Bueno, ¿qué hemos hecho aquí? Hemos considerado un campo de espín 1, por tanto un campo que puede ser responsable de una fuerza, y hemos recuperado la ecuación de Klein-Gordon para todas sus componentes. Como tratamos con una partícula de espín 1, se puede asimilar al 4-potencial de alguna fuerza. La versión independiente del tiempo de esta ecuación es: \begin{equation} (\Delta-m^2)A_\mu=0 \end{equation} Cuando se trata de campos de materia, se tiene un término no evanescente en el RHS, y para resolver la nueva ecuación que surge de este segundo término, se utilizan las funciones de Green : \begin{equation} (\Delta-m^2)G(x-y)=-i\delta(x-y) \end{equation} Esta ecuación se puede resolver en el espacio de posición como se muestra en Wikipedia y conduce al potencial de Yukawa habitual: \begin{equation} G(r)=\frac{1}{4\pi r}e^{-mr} \end{equation} Así que para concluir, diría que es importante tener en cuenta que la ecuación de Klein-Gordon no está restringida a las partículas de espín 0 y que la palabra "potencial" en QFT se refiere a las partículas de espín 1.

Answer 2

El punto principal es que el término de masa ${\cal V}=\frac{1}{2}m^2\phi^2$ en la densidad lagrangiana KG ${\cal L}$ conduce a una supresión exponencial del KG propagador / Función de Green (una función de Bessel) para separaciones espaciales asintóticas.

Véase también, por ejemplo, mi respuesta relacionada en Phys.SE ici .

Referencias:

1. M.E. Peskin y D.V. Schroeder, Una introducción a la QFT, 1995; ec. (2.52).

Answer 3

Un punto peatonal: la ecuación de onda en el caso independiente del tiempo es la ecuación de Laplace, $$ \nabla^2 u-\partial_t u=0 \Rightarrow \nabla^2 u=0, $$ que tiene como solución el potencial de una carga puntual $$\frac{1}{r}.$$

La ecuación de onda con un término de masa (ecuación de Klein-Gordon) da igualmente el potencial de Yukawa $$ \nabla^2 u-\partial_t u - m^2 u=0 \Rightarrow \nabla^2 u - m^2 u=0\Rightarrow \frac{1}{r}e^{-mr}. $$

Answer 4

La ecuación de Klein-Gordon no es necesariamente para partículas libres. Se puede añadir el campo electromagnético y las fuentes. Así que, por lo que recuerdo, una de las soluciones de la ecuación de Klein-Gordon independiente del tiempo con una fuente de función delta es la solución de Yukawa.