La razón estándar por la que $e^{\pi\sqrt{N}}$ es un número entero cercano para algún $N$ es que hay alguna función modular $f$ avec $q$ -expansión $q^{-1} + O(q)$ , de tal manera que sustituyendo $\tau = \frac{1 + i\sqrt{N}}{2}$ (o quizás $\frac{i\sqrt{N}}{2}$ ) y $q = e^{2 \pi i \tau}$ en el $q$ -expansión de $f$ produce un entero racional. Si $N$ es suficientemente grande, las potencias positivas de $q$ son muy pequeños, por lo que el término inicial $q^{-1} = e^{-\pi i (1 + i\sqrt{N})} = -e^{\pi\sqrt{N}}$ es grande y muy cercano al entero racional. Solemos ver el fenómeno con $f$ como el $j$ -función, pero como señaló Medusa sin fricción, hay otras opciones.
Podríamos preguntarnos por qué una función modular daría lugar a un número entero cuando se le introduce un imaginario cuadrático, y la respuesta parece venir de la teoría de la multiplicación compleja, es decir, de las curvas elípticas cuyos anillos de endomorfismo son estrictamente mayores que los enteros. Empezaré por esbozar la imagen habitual con el $j$ y luego pasar a los módulos de los diagramas de curvas simetrizados.
Clase número uno
Dada una curva elíptica $E$ sobre los números complejos, podemos elegir una red $\Lambda \subset \mathbf{C}$ tal que $E \cong \mathbf{C}/\Lambda$ como colector complejo (y como grupo analítico). $\Lambda$ está determinada de forma única por esta propiedad hasta el reescalado complejo, también conocido como homotecia. El anillo de endomorfismo de $E$ es por tanto isomorfo al anillo de endomorfismo de $\Lambda$ que es un subring discreto de $\mathbf{C}$ y es $\mathbf{Z}$ o los enteros en una extensión imaginaria cuadrática $K$ de $\mathbf{Q}$ . En este último caso, $E$ se dice que tiene multiplicación compleja (o " $E$ es una curva CM"), y $\Lambda$ es un múltiplo complejo de un ideal fraccionario en $K$ . Dos ideales fraccionarios en $K$ dan lugar a curvas isomorfas si y sólo si están relacionadas por un reescalado, es decir, por un ideal principal. Esto produce una biyección entre clases de isomorfismo de curvas elípticas con multiplicación compleja por el anillo de enteros en $K$ y los elementos del grupo de clase ideal de $K$ . Estos conjuntos son finitos.
Para cualquier curva elíptica compleja $E$ y cualquier automorfismo teórico de anillo $\sigma$ de $\mathbf{C}$ podemos definir $E^\sigma$ como la curva que se obtiene al aplicar $\sigma$ a los coeficientes de la ecuación de Weierstrass que define $E$ . Desde el $j$ -es una función racional en los coeficientes de la ecuación de Weierstrass, $j(E^\sigma) = j(E)^\sigma$ . Desde $E^\sigma$ y $E$ tienen anillos de endomorfismo isomórficos, la conclusión del párrafo anterior implica que el grupo de automorfismo de $\mathbf{C}$ actúa sobre el conjunto de curvas CM, y su $j$ -invariantes, con órbitas finitas. En particular, $[\mathbf{Q}(j(E)):\mathbf{Q}]$ está acotado por encima del número de clase de $K$ (y con más trabajo, encontramos que tenemos igualdad). El hecho de que $j(E)$ es un entero algebraico puede demostrarse de varias maneras: véase la sección II.6 de la obra de Silverman Temas avanzados en la aritmética de las curvas elípticas . Mi método preferido es mostrar que $j$ es la solución de muchas ecuaciones modulares (que dan lugar a polinomios mónicos).
Nos queda el problema de encontrar curvas elípticas CM cuyos anillos de endomorfismo tengan clase número uno, pero esto es equivalente a encontrar retículos $\Lambda \subset \mathbf{C}$ que son los anillos de enteros de clase número uno campos cuadráticos imaginarios. Por trabajo de Heegner, Stark y Baker, obtenemos la lista habitual: $N = 163, 67, 43, 19, \dots$ y los primeros términos son casi enteros.
Diagramas simetrizados
Para cualquier primo $p$ hay una curva afín $Y_0(p)$ parametrización aproximada de los triples $(E, E', \phi)$ , donde $\phi: E \to E'$ es un grado $p$ isogenia de las curvas elípticas. Equivalentemente, los puntos de este espacio corresponden a pares de (clases de homotecia de) celosías, tales que una es un índice $p$ sublattice de la otra. Utilizo el término "aproximadamente" porque la presencia de automorfismos adicionales impide la formación de una familia universal sobre el espacio de parámetros, por lo que la curva afín es sólo un espacio de moduli grueso. La involución de Fricke cambia $E$ avec $E'$ y envía $\phi$ a su doble isogenia. El cociente es la curva $Y_0^+(p)$ , parametrizando aproximadamente pares no ordenados de curvas elípticas, con grado dual $p$ isogenias entre ellos. Es posible considerar estructuras de nivel con automorfismos más complicados, pero por ahora me quedaré con los primos.
Basándonos en la discusión de la clase número uno anterior, queremos una función $f$ que adjunta a cada uno de esos pares desordenados un número complejo tal que:
- $f$ tiene $q$ -expansión $q^{-1} + O(q)$ .
- Para cualquier automorfismo teórico de anillo $\sigma$ de $\mathbf{C}$ Tenemos la compatibilidad: $$f(\{E,E'\},\{\phi, \bar{\phi} \})^\sigma = f(\{E^\sigma,{E'}^\sigma \},\{\phi^\sigma, \bar{\phi}^\sigma \}).$$ Esto implica el valor de $f$ es algebraico cuando $E$ y $E'$ son CM.
- $f$ debe satisfacer suficientes ecuaciones modulares (o alguna otra condición que produzca integralidad).
Por un teorema de Cummins y Gannon, estas condiciones tomadas en conjunto implican que $f$ es un Hauptmodul normalizado para una curva de género cero. En particular, $p$ debe ser uno de los quince primos supersingulares : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,41,47,59,71.
Ahora, supongamos que tenemos un campo de clase número dos, como $\mathbf{Q}(\sqrt{-58})$ . Queremos un primo supersingular $p$ y un par desordenado de ideales fraccionarios en el campo, un índice $p$ en la otra, que es estable (hasta la homotecia simultánea) bajo la acción del grupo de automorfismo de $\mathbf{C}$ en los coeficientes de Weierstass de las curvas elípticas cotizadas. Idealmente, nos gustaría que sólo hubiera una clase de homotecia de pares no ordenados, por lo que $\operatorname{Aut} \mathbf{C}$ actuará automáticamente de forma trivial.
Para el caso que nos ocupa, el ideal fraccionario $(2,-i\sqrt{58})$ tiene índice 2 en el anillo de enteros, su cuadrado es $(2)$ y es el único ideal fraccionario de índice 2. Si tomamos $p=2$ encontramos que el par desordenado $\{ 1, (2,-i\sqrt{58}) \}$ representa la única clase de homotecia de pares de ideales fraccionarios de índice 2. Esto produce el resultado que señaló Medusa sin Fricción, que si $f_{2A} = q^{-1} + 4372q + 96256q^2 + \dots$ es el Hauptmodul normalizado de $X_0^+(2)$ entonces $f_{2A}(\frac{1+i\sqrt{58}}{2}) \in \mathbf{Z}$ . Cuando $q=e^{-\pi \sqrt{58}}$ los términos con potencias positivas de $q$ en la expansión de $f_{2A}$ son lo suficientemente pequeños como para hacer $q^{-1}$ cerca de un número entero.
Poderes
Todavía tenemos que averiguar por qué $e^{\pi\sqrt{232}}$ el cuadrado de $e^{\pi \sqrt{58}}$ también está cerca de un número entero. La respuesta fácil es: si elevamos al cuadrado $f_{2A}$ obtenemos $q^{-2} + 8744 + O(q)$ que es un número entero cuando $q=e^{-\pi \sqrt{58}}$ . El $O(q)$ términos aquí son todavía lo suficientemente pequeños como para hacer $q^{-2} = e^{\pi \sqrt{232}}$ muy cerca de un número entero. Se produce un fenómeno similar con 88 y 148.
Si quiere preguntar sobre $e^{3\pi \sqrt{58}}$ que es un número entero menos $1.5 \times 10^{-4}$ Una respuesta más sofisticada puede extraerse de la respuesta de Alison Miller a esta pregunta . El Hauptmodul normalizado para $X_0^+(2)$ es una función replicable, lo que significa que sus coeficientes satisfacen una cierta colección infinita de recurrencias, introducida por Conway y Norton al estudiar la luna monstruosa. Estas recurrencias equivalen a la existencia de ciertos operadores de Hecke modificados $T_n$ , de tal manera que $n \cdot T_nf_{2A}$ es un polinomio de coeficiente entero en $f_{2A}$ avec $q$ -expansión $q^{-n} + O(q)$ . Los coeficientes del $O(q)$ parte se hace grande como $n$ aumenta, por lo que las potencias de $e^{\pi \sqrt{58}}$ eventualmente se alejan de los números enteros.
(Nota: El 2A en $f_{2A}$ se refiere a una clase de conjugación en el grupo simple monstruoso. Existe una representación graduada distinguida del monstruo para la que la traza de identidad es $j-744$ y la traza de un elemento 2A es $f_{2A}$ .)
