Mostrar $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ tiene el mismo radio de convergencia que su derivada

Question

Demostrar que si $\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}$ converge para $|x| \lt r$ entonces $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ también converge para $|x| \lt r$ es decir, tienen el mismo radio de convergencia.

Intenté aplicar la prueba de comparación, pero sólo obtengo la convergencia absoluta, es decir, sé cómo probar si $\sum_{n=0}^{\infty}|na_nx^{n-1}|$ convergen entonces $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ también converge. Pero estoy atascado en mostrar la propiedad anterior. ¿Podría alguien dar una prueba por favor? Gracias.

Answer 1

Una serie de potencia $\sum a_nx^n$ converge absolutamente si $|x| < R$ y diverge si $|x| > R$ donde el radio de convergencia se puede encontrar como

$$R = \left(\limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\right)^{-1}.$$

Tenga en cuenta que

$$\limsup_{n \to \infty}|na_n|^{1/n} \leqslant \limsup_{n \to \infty}|n|^{1/n} \limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}= 1 \cdot \limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}, $$

y, como $|a_n| \leqslant |na_n|,$

$$\limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n} \leqslant \limsup_{n \to \infty}|na_n|^{1/n}.$$

Por lo tanto,

$$\limsup_{n \to \infty}|na_n|^{1/n} = \limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}.$$

Answer 2

Quieres demostrarlo, si $R = \left(\limsup_{n \to \infty}|na_n|^{1/n}\right)^{-1} $ entonces $R = \left(\limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\right)^{-1} $ .

Esto se desprende de $\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1 $ .

Answer 3

Si $\sum n a_n x^n$ converge para $|x|<r$ , entonces para cualquier $0<r_1<r$ allí tiene $\lim_{n\to \infty}na_nr_1^n=0$ . En particular, para todo lo suficientemente grande $n$ se obtiene $|na_nr_1^n|<1$ . Esto significa que $|a_n|< 1/(nr_1^n)<1/r_1^n$ para $n$ lo suficientemente grande.

Ahora bien, si quieres mostrar para un determinado $x,|x|<r$ que $\sum a_n x^n$ converge, entonces escoge $r_1 with $ |x|

El argumento es un poco más sutil en la otra dirección (que la derivada tiene radio de convergencia al menos tan grande como la original), ya que la desigualdad sería $|a_n|<n/r_1^n$ . Por lo que se acabaría comparando con $\sum nq^n$ avec $0<q<1$ . Aunque no es una serie geométrica, también converge, por ejemplo, mediante una prueba de proporción.