Límite de cualquier bola abierta

Question

¿Es cierto que para cualquier balón abierto $B(x;r)$ su límite debe ser la esfera, $S(x;r)=\{y \in X : d(x,y)=r\}$ ?

Así que estoy tratando de ir sobre esto con la intuición inicial. Dado que una bola abierta está definida por $d(x,y)<r$ Debe ser que el cierre va a ser efectivamente los puntos de la esfera, pero esto no me parece demasiado convincente.

¿Son mis pensamientos correctos o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

No. Considera la topología discreta, entonces todo conjunto es abierto y cerrado y por tanto el límite es el conjunto vacío.

Editar: Se puede definir una métrica $ d(x,y) = 1 $ si $x\neq y$ y $ d(x,y) = 0 $ si $ x = y $ . Así que si $ (X,d) $ es un espacio métrico, entonces se puede demostrar que todo conjunto es abierto y cerrado. Así, $ U \subset X$ está abierto, por lo que el límite está en $ X - U $ e igualmente $ X - U $ está abierto, por lo que el límite está en $ U $ mais $ (X - U) \cap U = \emptyset $ . Así que el límite debe ser el conjunto vacío.

Answer 2

Infimum tiene razón con su contraejemplo, pero permítanme ofrecer una visión no trivial.

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Le site frontera de una bola abierta $O \subseteq S$ es precisamente $\overline{O} - O$ . ¿Por qué? Según la Wikipedia, el límite de un conjunto $S$ es..

...el conjunto de puntos en el cierre de S, no pertenecientes al interior de S.

Desde $O$ es abierto, sus puntos interiores son exactamente $O$ y así $\overline O - O$ es el límite de $O$ .

Usted ha preguntado cuando es el caso que: \begin{align} \partial B(x;r) &= \{y \in M : d(x,y) = r\} \\ &= \{y \in M : d(x,y) \leq r\} - \{y \in M : d(x,y) < r\} \\ &= B_{closed}(x;r) - B(x;r) \\ \overline{B(x;r)} - B(x;r) &= B_{closed}(x;r) - B(x;r) \end{align}

Es obvio que ambos $\overline{B(x;r)}$ y $B_{closed}(x;r)$ contienen la totalidad de $B(x;r)$ así que podemos reducir esto a: $$\boxed{\overline{B(x;r)} = B_{closed}(x;r)} \quad \Leftrightarrow \quad \partial B(x;r) = \{y \in M : d(x,y) = r\}$$

Sabiendo esto, su pregunta se hace equivalente a lo siguiente:

¿Cuándo se da el caso de que el cierre de una bola abierta sea igual a la bola cerrada?

...que es contestado aquí con la siguiente condición equivalente:

Para dos puntos distintos cualesquiera $x,y$ en el espacio y cualquier $\epsilon$ Hay un punto en el que $z$ en $\epsilon$ de $y$ y más cerca de $x$ que $y$ es. Es decir, para cada $x\neq y$ y $\epsilon\gt 0$ , hay $z$ avec $d(z,y)<\epsilon$ y $d(x,z)<d(x,y)$ .