¿Implica la forma normal de Smith la EPI?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo no nulo con $1$ , tal que todas las matrices finitas sobre $R$ tener un Forma normal de Smith . ¿Se deduce que $R$ ¿es un dominio ideal principal?

Si esto falla, supongamos además que $R$ ¿es un dominio integral?

¿Qué podemos decir si imponemos la condición adicional de que las entradas diagonales sean únicas hasta los asociados?

Answer 1

La implicación es falsa sin la suposición de que R es noetheriano, porque las matrices finitas no detectan suficiente información sobre los ideales generados infinitamente.

Por ejemplo, sea R el anillo $$\bigcup_{n \geq 0} k[[t^{1/n}]]$$ donde $k$ es un campo (un anillo de valoración indiscreto). Toda matriz finita con coeficientes en R procede de un subring $k[[t^{1/N}]]$ para algunos grandes $N$ y, por lo tanto, puede reducirse a la forma normal de Smith dentro de este PID más pequeño.

Sin embargo, lo ideal es $\cup (t^{1/N})$ no es principal.

Answer 2

Si toda matriz tiene una forma normal de Smith, entonces toda matriz finitamente generada $R$ -submódulo $M$ de $R^n$ satisface $R^n/M$ es un finito suma directa de módulos isomorfos a $R/aR$ . Si $R$ es noetheriano esto implica que todo módulo finitamente generado es una suma directa de módulos de la forma $R/aR$ . Así que si $I$ es un ideal maximal de la noeteriana $R$ entonces $R/I$ es un módulo simple, por lo que si $R/I\cong R/aR$ entonces $I=aR$ es principal. Así que en un anillo noetheriano con la forma normal de Smith para todas las matrices, cada ideal maximal es principal. ¿Implica esto que todos los ideales son principales? .... No estoy seguro :-)

Answer 3

Los trabajos sobre las generalizaciones teóricas de los anillos de las formas normales de Hermite/Smith se remontan a tiempos muy lejanos, pero llegaron a la corriente principal a través de los artículos clásicos de Helmer y Kaplansky. Hoy en día estos anillos se denominan anillos de divisores elementales, o anillos con divisores elementales (r.e.d.) o anillos de Helmer, etc. Una búsqueda de estos términos y de citas del artículo clásico de Kap [1] debería responder rápidamente a todas sus preguntas y a algunas más.

[1] I. Kaplansky, "Elementary divisors and modules", Trans. Am. Math. Soc., 66, 464-491. (1949).
http://www.ams.org/journals/tran/1949-066-02/S0002-9947-1949-0031470-3/S0002-9947-1949-0031470-3.pdf

Answer 4

Tales anillos se denominan aparentemente anillos divisores elementales. Son necesariamente anillos de Bezout (es decir, cada ideal finitamente generado es principal), pero no son fáciles de caracterizar completamente.

El primer artículo que da una condición suficiente no trivial (más allá del caso clásico) parece ser

Helmer, Olaf El teorema del divisor elemental para ciertos anillos sin condición de cadena. Bull. Amer. Math. Soc. 49, (1943). 225--236, MR

Los resultados más completos se encuentran en una serie de documentos que comienzan con

Larsen, Max D.; Lewis, William J.; Shores, Thomas S. Elementary divisor rings and finitely presented modules. Trans. Amer. Math. Soc. 187 (1974), 231--248, MR

Answer 5

En aras de la exhaustividad, resumo varias definiciones importantes en este tema (todas ellas cercanas a la pregunta original) y sus principales relaciones, tal y como pueden encontrarse en la literatura (véanse las referencias más abajo).

Consideramos que todos los anillos $R$ conmutativa y unital. Toda la teoría que sigue se inspira en el teorema de la estructura para módulos generados finitamente sobre EPIs.

En primer lugar, dado cualquier $R$ -Módulo $M$ tenemos una presentación libre (secuencia exacta) $$F_1\rightarrow^g F_0\rightarrow^f M\rightarrow 0$$ con $F_0,F_1$ módulos gratuitos. Si $M$ es de presentación finita podemos escoger $F_0\cong R^n$ , $F_1\cong R^m$ y luego $g$ puede representarse mediante una matriz $A\in$ Mat $_{n,m}(R)$ (para bases fijas de $R^m,R^n$ ), por lo que $$M\cong R^n/AR^m.$$ Así, el estudio de las matrices (finitas) sobre $R$ es lo mismo que el estudio de la presentación finita $R$ -(más en general, el estudio de las matrices infinitas es el estudio de todos los módulos).

Cuando $A$ es equivalente a una matriz diagonal (no cuadrada), $PAQ=$ diag $(d_1,\ldots,d_r)$ avec $P,Q$ invertible sobre $R$ tenemos $$M\cong R^s\oplus R/d_1R\oplus\cdots\oplus R/d_rR,$$ así que $M$ es una suma directa de módulos cíclicos, que además están presentados cíclicamente. Si además $d_i|d_{i+1}$ para todos $i$ (es decir, si $A$ tiene una forma normal de Smith) entonces los ideales de presentación satisfacen $R\supseteq d_1R\supseteq d_2R\supseteq\cdots\supseteq d_rR$ .

Ahora vamos a abstraer las ideas anteriores con las siguientes definiciones. Llamaremos a un anillo

• FGC si todos sus módulos generados finitamente son sumas directas de módulos cíclicos.
• FPC si todos sus módulos finitamente presentados son sumas directas de módulos cíclicos (esta nomenclatura no es habitual).
• Divisor elemental (ED) si todas sus matrices finitas tienen una forma normal de Smith.
• Hermite si todos sus $2\times1$ y $1\times2$ son equivalentes a una matriz diagonal. Esto implica que todas las matrices tienen una forma normal de Hermite (Kaplansky 1949).
• Bezout si todos sus ideales generados finitamente son principales.
• A PIR si todos sus ideales son principales.
• CF si todas las sumas directas finitas de módulos cíclicos $M$ tener un forma canónica es decir, $M\cong R/I_1\oplus\cdots\oplus R/I_n$ avec $I_1\supseteq I_2\supseteq\dots\supseteq I_n$ .
• CP si todos sus módulos cíclicos finitamente presentados $C$ tener un presentación cíclica es decir, $C\cong R/cR$ avec $c\in R$ (esta nomenclatura no es habitual).

Tenemos las siguientes relaciones inmediatas entre las definiciones:

• FGC implica FPC por definición.
• ED implica FPC por la exposición anterior. Además, implica CP y CF sólo para módulos infinitamente representados.
• ED implica Hermite : Todas las matrices tienen la forma normal de Smith, en particular la $2\times1$ y $1\times2$ los.
• Hermite implica a Bezout : El ideal $I$ generado por los elementos $a,b\in R$ puede verse como la suma de las componentes de la imagen de la matriz $\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}:R^2\rightarrow R^2$ que puede reducirse invertidamente a la izquierda a la forma $\begin{pmatrix}c&0\\0&0\end{pmatrix}$ , dando $I=cR$ .

También tenemos relaciones menos evidentes entre ellos:

• Bezout implica CP : Dejemos que $C$ sea un módulo cíclico finitamente presentado, $C\cong mR$ . Entonces $$0\rightarrow\text{Ann}_R(m)\rightarrow R\rightarrow C\rightarrow 0$$ es una secuencia exacta corta con $C$ finitamente presentado y $R$ generada finitamente. Por un lema de Bourbaki, Ann $(m)$ es de generación finita, por lo que es un ideal de generación finita, por lo que Ann $(m)=cR$ depuis $R$ es Bezout. Esto viene de (Larsen, Lewis, Shores 1974) (sólo se refieren al resultado de Bourbaki).
• FPC implica un divisor elemental : Este es uno de los principales resultados de (Larsen, Lewis, Shores 1974). Obsérvese que, como divisor elemental es igual a FPC+CP+CF-fin.presentado, lo que se está diciendo es que una vez que todos los módulos finitamente presentados son sumas directas de módulos cíclicos, dichos módulos pueden tomarse cíclicamente presentados y en forma canónica, de modo que existe la forma normal de Smith de la matriz correspondiente.

Así que ahora tenemos $$\text{FGC}\Rightarrow \text{FPC}=\text{ED}\Rightarrow \text{Hermite}\Rightarrow \text{Bezout}\Rightarrow \text{CP}.$$

En la literatura también hay respuestas a preguntas interesantes:

• El entorno noetheriano: Como también se ha demostrado aquí, un anillo divisor elemental es noetheriano si y sólo si es un PIR (Uzkov 1963). Como para los anillos noetherianos todos los submódulos de los módulos finitamente generados son finitamente generados (por lo que los módulos finitamente generados son finitamente presentados), también tenemos que los FGC noetherianos son exactamente los PIR. Obsérvese que la existencia de divisores cero no impide que las matrices tengan una forma normal de Smith.
• Matrices diagonales con SNF: Los anillos tales que toda matriz diagonal tiene una forma normal de Smith son precisamente los anillos de Bezout (Larsen, Lewis, Shores 1974). Por lo tanto, en los anillos de Bezout, el obstáculo para que las matrices tengan una SNF es que no sean equivalentes a una matriz diagonal.
• Condición suficiente para la disfunción eréctil: Los anillos de Hermite piden una forma diagonal de matrices pequeñas, el $2\times1$ y $1\times2$ vectores. Podemos preguntarnos qué otros tamaños son necesarios para garantizar que el anillo no sólo es Hermite, sino que es divisor elemental. Resulta que el orden $2$ es suficiente: un anillo es ED si y sólo si todos sus $2\times 2$ son equivalentes a una matriz diagonal (Larsen, Lewis, Shores 1974).
• Condiciones para que Bezout sea Hermite: No todos los anillos Bezout son Hermite. Los dominios de Bezout son Hermite, y es un problema abierto determinar si todos los dominios de Bezout son dominios ED, cuestión que viene de (Helmer 1943). Los anillos de Bezout con un número finito de ideales primos mínimos son Hermite (Larsen, Lewis, Shores 1974).
• La clasificación de los FGC: Gracias al trabajo de varias personas, se han clasificado los FGC (conmutativos). Un anillo es FGC si y sólo si:
  • Es Bezout y fraccionalmente auto-inyectiva (Vámos 1979).
  • Es una suma directa finita de anillos de valoración máximos, anillos de Bezout casi máximos y anillos de antorcha.
  • Es una suma directa finita de anillos $S$ satisfactorio: $S$ tiene un único primo mínimo $P$ , $S/P$ es un dominio h-local de Bezout, los ideales contenidos en $P$ forman una cadena, y para cada ideal maximal $M$ de $S$ , $S_M$ es un anillo de valoración casi maximal.
• FGC implica CF: Como consecuencia de los teoremas de clasificación se puede demostrar que todos los módulos finitamente generados sobre un FGC pueden presentarse en forma canónica (Wiegand, Wiegand 1977).
• Clasificación de los anillos CF: También se han clasificado los anillos de CF (Shores, Wiegand 1974). Son sumas directas finitas de anillos locales, dominios h-locales y anillos $S$ con un único primo mínimo $P$ tal que $R/P$ es un dominio h-local, $P^2=0$ y todo ideal de $S$ contenida en $P$ es comparable con cualquier ideal de $S$ .

Se puede encontrar una descripción detallada de los anillos FGC en (Brandal 1979).

También podemos pensar en formas diagonales de matrices infinitas. En este contexto es más habitual hablar de bases apiladas: dadas dos matrices libres $R$ -módulos $F\leq G$ decimos que tienen bases apiladas si hay una base $\{x_i\}_{i\in I}$ de $G$ tal que $\{r_jx_j\}_{j\in J}$ es una base de $F$ avec $I\subseteq J$ y $r_j\in R$ para todos $j\in J$ es decir, si una base de $F$ se puede formar tomando múltiplos de algunos de los vectores de la base de $G$ . Obsérvese que si $F,G$ tienen bases apiladas entonces $G/F$ es una suma directa de módulos cíclicos.

Sobre un PID, el teorema de las bases apiladas generaliza el teorema de la estructura para módulos no necesariamente generados finitamente: Si $R$ es un PID y $F\leq G$ avec $G$ libre son tales que $G/F$ es una suma directa de módulos cíclicos, entonces $F,G$ tienen bases apiladas (Cohen, Gluck 1970).

Para generalizar aún más a los dominios integrales, (Fuchs, Salce 2000) amplía la definición de bases apiladas para que el submódulo no tenga que ser libre, basándose en el teorema de la estructura para módulos generados finitamente sobre dominios Dedekind: Dados los módulos $H\leq F$ avec $F$ libre, tienen bases apiladas si podemos escribir $F=\bigoplus_{i\in\Lambda_F} J_ix_i$ , $H=\bigoplus_{i\in\Lambda_H} I_iJ_ix_i$ avec $\Lambda_H\subseteq\Lambda_F$ , $J_i$ ideales invertibles de $R$ (es decir, el $J_ix_i$ son módulos proyectivos de rango uno), y $I_i$ ideales finitamente generados de $R$ .

Entonces los dominios Dedekind satisfacen la propiedad de las bases apiladas para los módulos finitamente presentados $F/H$ . (Fuchs, Salce 2000) muestra que si $R$ es un dominio h-local de Prüfer y $M$ es una suma directa de los cíclicos $R$ -de dimensión proyectiva uno, entonces toda presentación $0\rightarrow H\rightarrow F\rightarrow M\rightarrow 0$ de $M$ tiene bases apiladas.

Referencias:

1. Teorema del divisor elemental para ciertos anillos sin condición de cadena (1943). Helmer.
2. Divisores y módulos elementales (1949). Kaplansky.
3. Sobre la descomposición de módulos sobre un anillo conmutativo en una suma directa de submódulos cíclicos (1963). Uzkov.
4. Bases apiladas para módulos sobre dominios ideales principales (1970). Cohen, Gluck.
5. Anillos divisores elementales y módulos finitamente presentados (1974). Larsen, Lewis, Shores.
6. Anillos cuyos módulos generados finitamente son suma directa de cíclicos (1974). Shores, Wiegand.
7. Anillos conmutativos cuyos módulos generados finitamente son sumas directas de cíclicos . Wiegand, Wiegand.
8. Anillos conmutativos cuyos módulos generados finitamente se descomponen (1979). Brandal.
9. Métodos teóricos de gavilla en la solución del problema de Kaplansky (1979). Vámos.
10. Bases apiladas sobre dominios h-locales de Prüfer (2000). Fuchs, Lee
11. Anillos y cosas y un buen conjunto de álgebra asociativa del siglo XX (2004). La fe. Anillos de división elemental . Anillos FGC .