¿Alguien tiene un ejemplo de proceso estocástico $(X_t)$ que es casi seguramente continua pero $\{\omega \mid t\mapsto X_t(\omega )\text{ continuous}\}$ no es medible? Me parece extraño. Porque si $(X_t)$ es continua a.s. entonces $\{\omega \mid t\mapsto X_t(\omega )\text{ continuous}\}^c$ tiene medida $0$ y, por tanto, es medible.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Los conjuntos nulos son medibles sólo en espacios completos medibles. Si no es completo, hay conjuntos nulos que no son medibles. Tomemos por ejemplo $\Omega =[0,1]$ , $\mathcal F=\mathcal B([0,1])$ el conjunto de Borel de $[0,1]$ y $\mathbb P$ la medida de Lebesgue. Sea $N$ un conjunto nulo que no es un conjunto de Borel (dicho conjunto existe). Entonces $$X_t(\omega )=\begin{cases}t&\omega \notin N\\ \boldsymbol 1_{\mathbb Q\cap [0,1]}(t)&\omega \in N\end{cases},$$ es un ejemplo de ello. Si el espacio de medida es completo (es decir, los conjuntos nulos son medibles), entonces sí, $\{\omega \mid t\mapsto X_t(\omega )\}$ es medible por la razón que has dicho.