¿Cómo pueden ser negativas las funciones trigonométricas?

Question

No puedo entender por qué $\cos(180-\theta)$ decir es $-\cos\theta$ . Esto se debe probablemente a que mi profesor introdujo por primera vez la trigonometría en los triángulos. No lo entiendo para los ángulos obtusos porque no puedo pensar en ellos en un triángulo rectángulo.

Me di cuenta de que no podía sentir lo que había leído "en mi bazo" cuando estaba mirando la demostración de la ley de los cosenos en un triángulo obtuso. Me he pasado un buen rato pensando en cómo la " $-\cos\theta$ " entró en la derivación. No puedo entender del todo, por qué los negativos que funcionan en la $XY$ -plano trabajan en triángulos. Por ejemplo, como en un triángulo todos los lados son positivos, al tomar la razón de los lados no obtenemos ningún valor negativo, pero ¿cómo entonces $\cos 120^{\circ}=-0.5$ . Mi cerebro está hecho un lío ahora mismo. Agradecería que alguien me ayudara o me sugiriera algo que pueda hacer.

Permítanme ilustrar lo que no puedo evitar.

Se da que en el triángulo $\angle BAC=120$ grados, $|AC|=3$ y que D es el pie de la perpendicular de C a BD. Entonces $\cos\angle BAC=-0.5=\dfrac{AD}{AC} \implies AD=-1.5$ ?

Answer 1

El coseno de un ángulo obtuso simplemente no proviene de las razones de las longitudes de los lados de un ángulo obtuso. Es definido para ser el $x$ coordenada de la intersección del lado terminal del ángulo con el círculo unitario. Eso es todo. No hay nada que nos obligue a hacer esta definición, excepto que es inmensamente útil y coincide con la definición de relación de lados para los ángulos agudos. A partir de esta definición se puede demostrar que $\cos(180-\theta)=-\cos(\theta)$ Utilizando imágenes como la que has mostrado.

Answer 2

La longitud puede ser negativa.

¿Cómo es posible? Porque los signos negativos y positivos son siempre relativos.

¿Qué quiero decir con eso? En tu configuración, empiezas con A como origen (0,0). Todo lo que esté a la izquierda de esto es un valor negativo. Si consideras el triángulo DCB e ignoras el resto. Entonces el punto D se convertiría en (0,0) en esa configuración y todos los valores a la derecha serían positivos y todos los valores a la izquierda de D serían negativos. Todos los cocientes en ese triángulo DCB serán positivos, prueba los cálculos.

El signo negativo denota esencialmente la dirección. Seleccionas un punto y asumes que todos los valores de un lado serán positivos y todos los valores del otro lado serán negativos. Todo esto suena raro al principio, pero sólo tienes que practicar más y un día todo empezará a tener sentido y tu mente quedará realmente sorprendida.

Answer 3

Para los triángulos rectos, todos sabemos que los valores de $sin (\theta)$ , $cos (\theta)$ y $tan (\theta)$ funciona cuando $0\le\theta\le90$ .

No tocamos ningún ángulo más allá de 90 en la trigonometría del triángulo rectángulo ya que el total de ángulos en un triángulo es de 180 grados.

Ahora considera estos triángulos (no a escala): Donde el triángulo A y el triángulo B tienen diferentes ángulos etiquetados. Y nombramos el ángulo c= $\theta$ y el ángulo d= $(180-\theta)$

Ahora observa que la regla del coseno es: $C^2=B^2+A^2-2\cdot A\cdot B\cdot cos(C)$ para cualquier triángulo no recto como éste:

Volvamos al tema. Observa que para esos dos triángulos (Triángulo A y Triángulo B), la longitud lateral D es claramente mayor que la C.

Usando la regla del coseno para esos dos triángulos:

Para el triángulo A: $C^2=A^2+B^2-2\cdot A\cdot B\cdot cos(\theta)$ (como $c=\theta$ )

Para el Triángulo B: $D^2=A^2+B^2-2\cdot A\cdot B\cdot cos(180-\theta)$ (como $d=180-\theta)$

Ahora sabes que $cos(180-\theta) =-cos(\theta)$ podemos tener para el triángulo B: $D=\sqrt{A^2+B^2-(2\cdot A\cdot B\cdot -cos(\theta))}=\sqrt{A^2+B^2+2\cdot A\cdot B\cdot cos(\theta)}$

Comparado con el triángulo A para el lado C, $C=\sqrt{A^2+B^2-2\cdot A\cdot B\cdot cos(\theta)}$

Ahora sabemos que la fórmula para ambos triángulos A y B que el lado D es mayor que el lado C y las fórmulas derivadas son:

$C=\sqrt{A^2+B^2-2\cdot A\cdot B\cdot cos(\theta)}$ para el ángulo $c=\theta$

$D=\sqrt{A^2+B^2+2\cdot A\cdot B\cdot cos(\theta)}$ para $d=180-\theta$

Y tenemos el sentido de que $\sqrt{A^2+B^2+2\cdot A\cdot B\cdot cos(\theta)}$ es claramente mayor que $\sqrt{A^2+B^2-2\cdot A\cdot B\cdot cos(\theta)}$

Esta es una de las razones por las que $cos(180-\theta)=-cos(\theta)$

Answer 4

Dejemos que $\triangle OAB$ denotan un triángulo rectángulo con su ángulo recto en $O$ y definir $\theta:=\angle AOB$ . Si $OB=1$ entonces $$OA=\cos\theta,\,AB=\sin\theta\left(\ast\right).$$ En el círculo de radio $1$ y el centro $O$ , mantenga el diámetro que contiene $OA$ fijado como $B$ se mueve alrededor del círculo. (El punto $A$ se mueve a lo largo del diámetro, pero el diámetro en sí no cambia). Ahora puede definir $\cos\theta,\,\sin\theta$ en términos de $\left(\ast\right)$ sin pensar en los triángulos en absoluto.

Si $\theta$ es agudo entonces $B$ tiene coordenadas cartesianas $\left(\cos\theta,\,\sin\theta\right)$ , siempre y cuando establezcamos $O=\left(0,\,0\right)$ e identificar la media línea $OA$ se extiende infinitamente a través de $A$ con el positivo $x$ -eje. (Ver este diagrama .) Ahora vamos a aumentar $\theta$ al seguir moviéndose $B$ en sentido contrario a las agujas del reloj. Para obtusos $\theta$ tendrías $x<0,\,y>0$ . Sustitución de $\theta$ con $180^\circ-\theta$ refleja $B$ en el radio que termina en $\left(0,\,1\right)$ . Esto sustituye a $\left(x,\,y\right)$ con $\left(-x,\,y\right)$ por lo que $\cos$ cambia de signo pero $\sin$ no lo hace.