Escribir 28913000 como la suma de dos cuadrados

Question

Un poco de diversión con la teoría de los números. Se me da que $167^2 + 32^2 = 28913$ y se me pide que encuentre enteros $a$ y $b$ , de tal manera que $a^2 + b^2 = 28913000$ .

Este es mi proceso de pensamiento hasta ahora:

Sabiendo que $1000 = 10^2 + 30^2$ , reescribí $28913000$ como $28913\times 1000$ y se procedió a multiplicar las sumas de los cuadrados:

$$(167^2 + 32^2)(10^2 + 30^2).$$

Sin embargo, después de frustrar, terminé con la suma de $4$ cuadrados, y no se me ocurre cómo encontrar sólo dos cuadrados, $a$ y $b$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

¡Muy bien!

¿Sabe usted números complejos ? Supongamos que $-1$ tiene una raíz cuadrada en algún lugar (ciertamente no en $\mathbb R$ ), denote $i$ e introducir $+$ , $\cdot$ operaciones con reales y $i$ . Así que, $i^2=-1$ Por lo tanto $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$ . $$(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di) = (a+bi)(c+di)\cdot (a-bi)(c-di)$$ ¿Puede calcularlo?

Answer 2

Puede comprobar fácilmente que $$ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 $$

Answer 3

También se pueden encontrar todas las soluciones computacionalmente. Por ejemplo, aquí hay algunas GAP código:

n:=28913000;;

for a in [0..RootInt(n)] do
  b:=n-a^2;
  c:=RootInt(b);
  if(IsSquareInt(b)) then
    Print(a^2+c^2," = ",a,"^2 + ",c,"^2\n");
  fi;
od;

que da

28913000 = 182^2 + 5374^2
28913000 = 710^2 + 5330^2
28913000 = 1330^2 + 5210^2
28913000 = 2062^2 + 4966^2
28913000 = 2174^2 + 4918^2
28913000 = 2630^2 + 4690^2
28913000 = 3370^2 + 4190^2
28913000 = 3766^2 + 3838^2
28913000 = 3838^2 + 3766^2
28913000 = 4190^2 + 3370^2
28913000 = 4690^2 + 2630^2
28913000 = 4918^2 + 2174^2
28913000 = 4966^2 + 2062^2
28913000 = 5210^2 + 1330^2
28913000 = 5330^2 + 710^2
28913000 = 5374^2 + 182^2