Aclaración sobre la declaración condicional universal

Question

En la fórmula $\forall x, P(x)$ es verdadera cuando todos los objetos de un determinado conjunto tienen la propiedad $P$ .

Pero cuando se tiene la fórmula $\forall x, P(x) \rightarrow Q(x)$ ¿Qué tiene que ser verdad aquí? ¿Los predicados $P$ y $Q$ ¿es necesario que sea cierto, o toda la fórmula?

Lo pregunto porque estuve leyendo sobre el modus ponens universal, del cual la hipótesis es:

$\forall x$ , si $x$ hace $P$ verdadero, entonces $x$ hace $Q$ verdadero

Pero ¿qué pasa si $P(x)$ ¿no es cierto? $Q(x)$ podría ser cierto que también. Si la respuesta va a ser "porque tiene un $\forall$ por lo que todos los objetos deben tener la propiedad $P$ y $Q$ ", lo que es que la diferencia entre $\rightarrow$ y $\wedge$ ?

Answer 1

La diferencia entre $\alpha \land \beta$ y $\alpha \to \beta$ es que en la primera ambos $\alpha$ y $\beta$ tiene que ser cierto, sin embargo, el segundo operador obliga a $\beta$ para ser verdad si $\alpha$ es cierto (es decir, cuando $\alpha$ es falso, entonces $\beta$ puede tomar cualquier valor). El primero suele ser $\alpha$ y $\beta$ donde el segundo $\alpha$ implica $\beta$ .

Al escribir cosas como $\forall x.\ P(x) \land Q(x)$ requerimos ambos $P(x)$ y $Q(x)$ para que sea cierto para todos $x$ . Por otro lado, $\forall x.\ P(x) \to Q(x)$ sólo requiere $Q(x)$ sea cierto cuando $P(x)$ es (nótese que $x$ es el mismo en ambos casos). En otras palabras, $Q(x)$ tiene que ser cierto para todos $x$ que satisfagan $P(x)$ .

Espero que esto ayude ;-)

Editar:

Para poner algún ejemplo concreto que destaque la diferencia, veamos

\begin{align} \phi_1 &= \forall x.\ \Big(P(x)\land\forall y.\ Q(y)\Big), \\ \phi_2 &= \forall x.\ \Big(P(x) \land Q(x)\Big), \\ \phi_3 &= \Big(\forall x.\ P(x)\Big) \land \Big(\forall y.\ Q(y)\Big), \\ \psi_1 &= \forall x.\ \Big(P(x) \to \forall y.\ Q(y)\Big), \\ \psi_2 &= \forall x.\ \Big(P(x) \to Q(x)\Big), \\ \psi_3 &= \Big(\forall x.\ P(x)\Big) \to \Big(\forall y.\ Q(y)\Big). \end{align}

Entonces $\phi_1$ , $\phi_2$ y $\phi_3$ son todos equivalentes, sin embargo, $\psi_1 \to \psi_2 \to \psi_3$ pero en general $\psi_3 \not\to \psi_2$ , $\psi_2 \not\to\psi_1$ y $\psi_3 \not\to\psi_1$ .

Answer 2

Puedes observar eso:
$$\forall_x (P(x)\to Q(x)) \equiv$$$$ \N-no \Nexiste_x (P(x) \N-no Q(x))$$ que se puede leer, por ejemplo, como
No hay ningún x que pueda satisfacer P, y no Q al mismo tiempo .

Answer 3

Cuando tienes $\forall x\varphi(x)$ entonces la fórmula es verdadera si y sólo si para cada $x$ , $\varphi(x)$ es cierto. En el caso de que $\varphi(x)$ es una implicación material, es decir $P(x)\rightarrow Q(x)$ entonces requerimos que cada $x$ que satisface $P$ también satisfará $Q$ .

Es decir, por cada $x$ se sostiene que si $P(x)$ es cierto, entonces $Q(x)$ es cierto.

Si piensas en $P$ y $Q$ como conjuntos, esto significa simplemente que $P\subseteq Q$ .

Esto es contrario a decir que por cada $x$ ambos $P$ y $Q$ son verdaderos, en cuyo caso sólo estamos afirmando que cada $x$ está en la intersección de $P$ y $Q$ , es decir, que ambos son iguales al universo del discurso.