Una pregunta teórica sobre la solución general del coseno.

Question

Tengo que encontrar los extremos de: $f(x)=x-\tan({x\over 2})$ . $(\pi\le x\le\pi)$

El último resultado es $\cos({x\over 2})=\pm{1\over \sqrt{2}}$ . Lo entiendo: ${x\over 2}=\pm{\pi\over 4}+2\pi k$ que deriva: $x=\pm {\pi\over 2}+4\pi k$ . Mi pregunta es: ¿debo escribir $x=\pm {\pi\over 2}+2\pi k$ o es importante mantenerlo $4$ ? Le agradecería su ayuda.

Answer 1

$$\cos\dfrac x2=\pm\dfrac1{\sqrt2}\iff\cos x=2\cos^2\dfrac x2-1=0$$

$x=(2m+1)\dfrac\pi2$ donde $m$ es un número entero cualquiera

Answer 2

Su solución de $x/2 = \pm \pi/4 + 2 \pi k$ sólo equivale a $cos(x/2) = 1/\sqrt2$ .

Para $cos(x/2) = -1/\sqrt2$ , $x/2 = \pm 3 \pi /4 + 2 \pi k$ .

Combinándolos, obtenemos

$x/2 = \pm \pi /4 + \pi k$

o $x/2 = \pi /4 + \pi k/2$

o $x = \pi /2 + \pi k$

PD: Intenta imaginar/dibujar los ángulos en cuadrantes de coordenadas cartesianas si te confundes en algún paso.