Teorema de Poincaré-Hopf mediante Stokes

Question

Le site entrada de la wiki sobre el teorema de Poincaré-Hopf afirma que "se basa en gran medida en la integral y, en particular, en el teorema de Stokes". Sin embargo, en el esbozo de prueba que se da allí, que es más o menos el de Milnor Topología desde el punto de vista diferenciable no hay integración.

¿Se facilita la demostración utilizando el teorema de Stokes? ¿Existe una buena referencia?

Answer 1

En el paso 3 del scketch se lee "el grado del mapa de Gauss". Ahora hay que buscar la definición del grado de un mapa $ f:M\to N$ . Pero ese mapa da un mapa lineal en la cohomología de Rham $f^*:H^m(N)\to H^m(M), n=\dim(M)=\dim(N)$ . El teorema de Stokes dice que la integral de $m$ -induce un isomorfismo $\int:H^m\to R$ y esto transforma $f^*$ (por cambio de variables en la integral) en un mapa lineal $R\to R$ . Dicho mapa lineal es el producto por un escalar $d$ : este es el grado de $f$ .