Ley de Ampere en un cable largo con densidad de corriente variable

Question

Sobre una pregunta de mi libro:

Un alambre largo y recto con una sección transversal circular de radio $R$ lleva una corriente $I$ . Supongamos que la densidad de corriente no es constante en la sección transversal del cable, sino que varía como $J=\alpha r$ donde $\alpha$ es una constante. Dado $I, R$

Encuentre $\alpha$

Halla el campo magnético en función de r tanto dentro como fuera del cable

Creo que las partes del cálculo me confunden. Mi intento:

$$J=\alpha r' = \frac{dI}{dA}$$ $$dI = 2 \pi r'^2 dr' \alpha$$

$$I = 2 \pi \alpha \int_0^R r'^2 dr'$$ $$I = 2 \pi R^3 \alpha /3$$ $$\alpha = \frac{3I}{2 \pi R^3}$$

a partir de aquí sólo se utilizan los amperios y creo que no hay problemas de varianza?

$$\oint \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 I_{in}$$

aplicar J=I/A

$$B 2 \pi r = \mu_0 \alpha r A$$

$$B = \frac{\mu_0 \alpha A}{2 \pi}$$ ]

$$B = \frac{3 \mu_0 I r^2}{2 R^3}$$

¿Esto es correcto? Las unidades parecen estar alineadas, así que tengo esperanzas.

Fuera del cable se trata como el caso de cable uniforme general supongo y no estoy demasiado preocupado por eso.

Answer 1

Esta es básicamente una pregunta sobre cómo comprobar una respuesta.

Para comprobar la primera parte puedes comprobar las unidades y ver si funcionan. Entonces, sólo puedes estar equivocado por un prefactor. Para comprobar el prefactor, simplemente recalcularía $I$ en términos de $\alpha$ y $R$ . Es decir, yo evaularía $\int \alpha r 2 \pi r dr$ introduciendo la expresión que se reclama para $\alpha$ y ver si esto realmente me da $I$ .

Para comprobar el valor de $B$ , puedes comprobar las dimensiones. Su expresión tiene las mismas dimensiones de $\mu_0 I /R$ así que eso es bueno. Otra cosa que puedes hacer es probar los límites $r \to 0$ y $r \to R$ . ¿Se obtiene lo que se espera en estos casos?

Answer 2

Estimado amigo presta atención a la ley de ampere que tiene en ella el término I(encerrado).Así que cuando encuentras campo dentro del alambre la corriente encerrada dentro de un círculo de radio r es algo que obtendrás integrando la densidad de corriente y no es lo que escribiste.