Notación matemática en matemáticas discretas

Question

La suma del primer $n$ números naturales, a partir de $1$ es $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}.$$

¿Esto se traduciría en...

Para cualquier $n$ un número natural, a partir de $1$ la suma de la primera $n$ números naturales implica la ecuación?

¿Está bien asumir que es para todos $n$ ? ¿O sería un error?

Answer 1

"Sí", salvo que la fórmula dada es la suma de los cuadrados de los números naturales, de 1 a n.

Answer 2

No es correcto.   Debería ser la suma para los cuadrados de la primera $n$ números naturales no nulos es igual a eso. $${\sum_{k=1}^n k =\dfrac{n(n+1)}{2!}\\\bbox[1ex, border:pink solid 1pt]{\sum_{k=1}^n k^2 =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{3!}}\\\sum_{k=1}^n k^3 =\dfrac{6n^2(n+1)^2}{4!}}$$

Answer 3

¿Dónde has leído eso? Pero lo más importante: ¿has intentado derivar la ecuación tú mismo?

La suma de los dos primeros números naturales es 3. La suma de los tres primeros números naturales es 6. La suma de los cuatro primeros números naturales es 10. La suma de los cinco primeros números naturales es 15. Hmm, eso se parece a los números triangulares.

Si los busca en la OEIS, comprobará que $$\binom{n + 1}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \sum_{i = 1}^n i.$$

Ninguno de ellos se parece a la fórmula que has copiado. Calcula $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$$ por unos cuantos $n$ , digamos que $0 < n < 8$ y buscarlo en la OEIS: los números piramidales cuadrados deberían ser el primer resultado, y efectivamente vemos que $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \sum_{i = 1}^n i^2.$$ Ese superíndice 2 marca una gran diferencia en la suma, ¿se considera un juego de palabras?

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En las dos sumas anteriores se puede sustituir $i = 0$ y eso no cambiará el resultado.