La unión de cierre de conjuntos es el cierre de la unión

Question

Deje $A_i$ ser un subconjunto de un espacio métrico para cada una de las $i\in \mathbb{N}$.

1. Deje $B_n := \bigcup_{i=1}^n A_i$. Probar (por cualquiera) $n \in \mathbb{N}$ que $\overline{B_n} = \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}$.
2. Si $B = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$, demuestran que, a $\overline{B} \supseteq \bigcup_{i=1}^\infty \overline{A_i}$. Dar un ejemplo para mostrar que esta contención puede ser apropiado.

Si $A_i$ es cerrado, a continuación,$A_i = \bar A_i$, pero estoy atascado en cuanto a cómo demostrar a $B=\bar B_n$. Si puedo demostrar que la primera declaración de al $A_i$ es cerrado significa eso también es cierto para al $A_i$ es abierto porque puedo construir un conjunto cerrado que contiene a $A_i$?

Por ejemplo, la construcción de una secuencia de segmentos entre los $0$ $1$ de los que obtienen arbitrariamente cerca de $1$ y tomando la unión de los segmentos de ser considerada una adecuada contención?

Answer 1

Para demostrar la verdad de las declaraciones vamos a hacer uso de los siguientes hechos:

• Si $A \subseteq B$,$\overline{A} \subseteq \overline{B}$.
• $x \in \overline{A}$ fib $U \cap A \neq \varnothing$ para cada abierto de vecindad $U$$x$. (Esto es en el contexto más general de general de espacios topológicos. Para la métrica espacios basta para restringir el $U$s al abrir $\varepsilon$-bolas centradas en $x$.)

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A ver que $\bigcup_{i=1}^n \overline{A_i} \subseteq \overline{B_n}$ observa que el $A_i \subseteq B_n$ por cada $i \leq n$, y aplicar el primer hecho anteriormente.

A ver que $\overline{B_n} \subseteq \bigcup_{i=1}^n \overline{A}_i$ tenga en cuenta que esto es equivalente a mostrar $X \setminus \bigcup_{i=1}^n \overline{A}_i \subseteq X \setminus \overline{B_n}$. Si $x \in X \setminus \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}$, luego por el segundo hecho anterior se sigue que para cada una de las $i \leq n$ hay una vecindad $U_i$ $x$ que es disjunta de a $A_i$. Ahora tenga en cuenta que $U := U_1 \cap \cdots \cap U_n$ es una vecindad de a $x$ que es disjunta de a $B_n$.

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Tenga en cuenta que el primer hecho anteriormente también muestra que $\bigcup_{i=1}^\infty \overline{A_i} \subseteq \overline{\bigcup_{i=1}^\infty A_i} = \overline{B}$.

Para dar un ejemplo de donde la igualdad no se sostiene, sólo enumerar el conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales como $\{ a_i : i \in \mathbb{N} \}$, y para cada una de las $i$ definir $A_i = \{ a_i \}$. De trabajo en $\mathbb{R}$ con la habitual (métricas/orden) topología, podemos demostrar que $$ {\estilo de texto \bigcup_{i=1}^\infty} \overline{A_i} = \mathbb{Q} \neq \mathbb{R} = \overline { {\estilo de texto \bigcup_{i=1}^\infty} A_i }. $$

Answer 2

Sugerencia 1: para $\overline{A_1}\cup\overline{A_2}\subset\overline{A_1\cup A_2}$

Supongamos que $x\in\overline{A_1}$. Esto significa que para cualquier abierto $U$ contiene $x$, $U\cap A_1\not=\varnothing$. Obviamente, para cualquier $U$ contiene $x$, $U\cap(A_1\cup A_2)\supset U\cap A_1\not=\varnothing$. Por lo tanto, si $x\in\overline{A_1}$,$x\in\overline{A_1\cup A_2}$; es decir, $\overline{A_1}\subset\overline{A_1\cup A_2}$.

Sugerencia 2: para $\overline{A_1\cup A_2}\subset\overline{A_1}\cup\overline{A_2}$

Supongamos que $x\in\overline{A_1\cup A_2}$. Esto significa que para cualquier abierto $U$ contiene $x$, $U\cap(A_1\cup A_2)\not=\varnothing$. Supongamos que $x\not\in\overline{A_1}$; es decir, para algunos $U_1$ contiene $x$,$U_1\cap A_1=\varnothing$,$x\not\in\overline{A_2}$; es decir, para algunos $U_2$ contiene $x$,$U_2\cap A_2=\varnothing$. Considere la posibilidad de $U=U_1\cap U_2$. Obviamente, $U$ es abierto y $x\in U$. Encontrar una contradicción.

Sugerencia 3: para $\bigcup\limits_{i=1}^n\overline{A_i}=\overline{\bigcup\limits_{i=1}^nA_i}$

El uso de la inducción en $\overline{A_1}\cup\overline{A_2}=\overline{A_1\cup A_2}$.

Sugerencia 4: para $\bigcup\limits_{i=1}^\infty\overline{A_i}\subset\overline{\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i}$

Si $x\in\bigcup\limits_{i=1}^\infty\overline{A_i}$, entonces hay algo de $n$, de modo que $x\in\overline{A_n}$. El uso de la Sugerencia 3 para mostrar $\overline{A_n}\subset\overline{\bigcup\limits_{i=1}^nA_i}$ y la Pista 1 para mostrar que $\overline{\bigcup\limits_{i=1}^nA_i}\subset\overline{\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i}$

Answer 3

Observe que $A_i \subset B_n \subset \overline{B_n}$. Desde $\overline{B_n}$ es cerrado, se sigue que $\overline{A_i}\subset \overline{B_n}$, de ahí se sigue que $\cup_{i=1}^n \overline{A_i}\subset \overline{B_n}$. Esto es cierto incluso con diferentes sindicatos.

Además, la unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada, y tenemos $B_n \subset \cup_{i=1}^n \overline{A_i}$, por lo que se deduce que el $\overline{B_n} \subset \cup_{i=1}^n \overline{A_i}$. Esto no es necesariamente cierto, con infinito sindicatos.

Otro ejemplo que ilustra este último punto es$A_i = \frac{1}{i} = \overline{A_i}$,$0 \in \overline{B} \setminus \cup_{i=1}^\infty \overline{A_i}$.