Una pregunta sobre el punto de inflexión

Question

¿La función $$ f(x)= \begin{cases} x^2 & x\leq1\\ 2-x^2 & x>1 \end{cases} $$ tiene un punto de inflexión en $x=1$ o no lo ha hecho porque $f$ no es diferenciable en $x=1$ ? Gracias.

Answer 1

Sorpresa Una función no tiene que ser diferenciable para tener un punto de inflexión. En pocas palabras, un punto de inflexión es un punto en el que $f(x)$ cambia la concavidad.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-}f''(x)=2$ y $\displaystyle \lim_{x \to 1^+}f''(x)=-2$

Podemos ver fácilmente que $f(x)$ es continua en $x=1$ .

Porque la concavidad cambia de signo en $x=1$ Sí, $f(x)$ tiene un punto de inflexión.

Answer 2

En un punto de inflexión es necesario que exista una recta tangente a la gráfica de la función, que en nuestro caso dice que $f$ debe ser diferenciable.

Así, $(1,1)$ no es un punto de inflexión.