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Mostrar $f(x)={x\over x+1}$ es uniformemente continua en $[0,\infty)$ .

Mostrar $$f(x)={x\over x+1}$$ es uniformemente continua en $[0,\infty)$ . Las pistas dicen que debería ser fácil ver que es lipschitz porque la derivada está acotada. Lo he intentado una y otra vez y no consigo demostrarlo. Les agradecería mucho su ayuda.

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Renan Puntos 6004

Un enfoque es simplemente escribir, en $[0,\infty)$ : $$ |f(a)-f(b)|=\left| \frac{a}{a+1}- \frac{b}{b+1}\right|=\left| \frac{a(b+1)-b(a+1)}{(a+1)(b+1)}\right|=\left| \frac{a-b}{(a+1)(b+1)}\right|\leq|a-b| $$ y la función es lipschitzian .

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Sushant23 Puntos 329

Comienza a utilizar el MVT: $$|f(x)-f(y)| = |f'(\xi)| |x-y| $$ para algunos $\xi \in (x,y)$ bajo el supuesto $x<y$ (por lo demás $\xi\in(y,x)$ ). ¿Cómo se puede atar $f'(\xi)$ ? Por supuesto que tenemos que utilizar $x,y\in [0,\infty)$

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