Derivadas de las operaciones sobre los vectores propios con respecto a la matriz

Question

Mi pregunta es: Dada una matriz $A$ y su vector propio $v$ que corresponde a $A$ existe una fórmula cerrada para calcular la derivada

$$\frac{\partial(u^Tv)}{\partial A}$$

donde $u$ es un vector no relacionado?

¡Por favor, ayuda! Gracias de antemano.

Actualización:

Compruebo el libro de cocina de matrix que muestra

$$\partial v = (\lambda I-A)^\dagger\partial(A) v$$

donde $\lambda$ es el valor propio correspondiente, $\dagger$ es el símbolo del pseudoinverso. Pero todavía no sé cómo calcular la derivada deseada.

Answer 1

Comienza con la ecuación de valores propios, y toma las diferenciales $$ \eqalign { 0 &= (A-\lambda I)v \cr &= dA\,v + (A-\lambda I)dv \cr dA\,v &= (\lambda I-A)dv } $$ Para facilitar la anotación, dejemos que $M=(\lambda I-A)^{\dagger}$ .

Luego, procediendo a la solución de mínimos cuadrados, obtenemos el resultado del libro de cocina $$ \eqalign { dv &= M\,dA\,v \cr } $$ A partir de ahí, podemos premultiplicar por $u^T$ para obtener $$ \eqalign { u^Tdv &= u^TM\,dA\,v \cr d(u^Tv) &= p^TdA\,v \cr &= pv^T:dA \cr } $$ donde $p=M^Tu\,\,$ y los dos puntos representan el Producto de Frobenius , $\,X\!:\!Y=tr(X^TY)$ .

Desde $df = (\frac{\partial f}{\partial A}):dA$ la derivada debe ser $$ \eqalign { \frac{\partial\,(u^Tv)}{\partial A} &= pv^T \cr &= M^{T}uv^T \cr &= (\lambda I-A^T)^{\dagger} \, uv^T } $$