Cómo calcular este límite con una integral

Question

He faltado a un par de clases, así que tengo problemas para hacer este ejercicio (y otros similares) de los deberes:

$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\displaystyle\sqrt{x}-\displaystyle\int_0^\sqrt{x} \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t}{\displaystyle\sqrt{x^3}}$

Se supone que debo resolver este límite utilizando la regla de De L'Hospital, sin embargo no sé cómo tomar la derivada del numerador.
Utilizando el teorema fundamental del cálculo sabría derivar $\displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pero no sé qué hacer cuando tengo una función de $x$ como límite de la integral, aunque supongo que está relacionado con el teorema fundamental.

¿Existe una regla general para calcular la primera derivada de $\displaystyle\int_a^{f(x)} f(t)\,\mathrm{d}t$ ?

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align} &\color{#00f}{\large\lim_{x \to 0^{+}}% {\displaystyle{\root{x} - \int_{0}^{\root{x}}\expo{-t^{2}}\,\dd t} \over \displaystyle{\root{x^{3}}}}} =\lim_{x \to 0^{+}}% {\displaystyle{x - \int_{0}^{x}\expo{-t^{2}}\,\dd t} \over \displaystyle{x^{3}}} =\lim_{x \to 0^{+}}% {\displaystyle{1 - \expo{-x^{2}}} \over \displaystyle{3x^{2}}} \\[3mm]&=\lim_{x \to 0^{+}}% {\displaystyle{2x\expo{-x^{2}}} \over \displaystyle{6x}} ={1 \over 3}\lim_{x \to 0^{+}}\expo{-x^{2}} =\color{#00f}{\large{1 \over 3}} \end{align}

Answer 2

Quieres decir "calcular la derivada de $\int_a^{g(x)} f(t) dt$ con respecto a $x$ ", en cuyo caso sí se puede de esta manera:

Dejemos que $F(x) = \int_a^{x} f(t) dt$

Entonces $F'(x) = f(x)$ [por el teorema fundamental]

Así, $\frac{d}{dx}( F(g(x)) ) = (Fg)'(x) = F'(g(x)) g'(x) = f(g(x)) g'(x)$ [por regla de la cadena]

Es bueno que preguntes sobre la cuestión general, pero para este caso especial hay realmente una forma más rápida, porque podemos sustituir $y=\sqrt{x}$ y $x \to 0^+$ equivale a $y \to 0^+$ . Entonces la expresión se simplifica y podemos aplicar directamente el teorema fundamental.

Answer 3

Si sabes lo suficiente sobre series e integrales como para justificar el cambio de orden entre $\sum$ y $\int$ ( o si quieres hacerte una idea de cuál es el límite antes de intentar demostrar su valor de otra manera), puedes hacerlo así (no es la mejor manera, pero sí una entretenida):

• recuerde que para todos los $x\in\mathbb{R}$ , $e^x \stackrel{\rm{}def}{=}\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ ;
• escribir \begin{align*} \sqrt{x} - \int_0^{\sqrt{x}}e^{-t^2}dt &= \int_0^{\sqrt{x}}\left( 1-e^{-t^2} \right)dt \\ &= \int_0^{\sqrt{x}}\left( 1-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!} \right)dt \\ &= \int_0^{\sqrt{x}}\left( 1-1-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!} \right)dt \\ &= -\int_0^{\sqrt{x}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n t^{2n}}{n!} dt \\ &= -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n }{n!} \left( \int_0^{\sqrt{x}} t^{2n} dt\right)\tag{swap $(\dagger)$} \\ &= -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n }{n!} \frac{x^{(2n+1)/2}}{2n+1} \\ &= \frac{x^{3/2}}{3} - \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n }{n!} \frac{x^{(2n+1)/2}}{2n+1} \end{align*} para que $$ \frac{\sqrt{x}-\int_0^\sqrt{x} {e}^{-t^2}dt}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{3} - \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n }{n!} \frac{x^{(2n+1)/2-3/2}}{2n+1} = \frac{1}{3} - \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n }{n!} \frac{x^{n-1}}{2n+1} = \frac{1}{3} + o(1) $$ (donde la última igualdad, $(\ddagger)$ también necesita una breve justificación). Por lo tanto, y modulo argumentando $(\dagger)$ y $(\ddagger)$ Esto muestra que el límite es $1/3$ .

Answer 4

Además del teorema de Newton, para diferenciar la integral hay que utilizar la regla de l' hospital, es decir, el límite de f(x)/g(x) cuando x se acerca a 0 es igual al límite de f'(x)/g'(x) cuando x se acerca a 0