Tengo esta función: $$f(x)=\frac{x(x^2-3)}{x^3-3x-3}$$ Necesito dibujar su gráfico. Lo he intentado con un estudio clásico de una función, pero me sale un desastre. ¿Alguna idea para simplificar el estudio para dibujar la gráfica? Gracias.
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Mohammad Riazi-Kermani
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Para obtener un gráfico de $$f(x)=\frac{x(x^2-3)}{x^3-3x-3}$$
Miramos los interceptos, las asíntotas y algunos puntos más.
$f(x)=0$ le da su $x$ -intercepta.
$$f(x)=0 \implies x(x^2-3)=0 \implies x=0,\pm \sqrt 3$$ $$ x^3-3x-3=0 $$ le da asíntotas verticales $$ x^3-3x-3=0\implies x=2.1038$$
que es la única asíntota vertical.
$$ \lim _{x\to \pm \infty }f(x) = 1$$
Es decir $y=1$ es una asíntota horizontal.
Usamos la información anterior para dibujar un gráfico.
A continuación, verificamos nuestro gráfico con una utilidad gráfica.
HINT
Tenga en cuenta que
$$f(x)=\frac{x(x^2-3)}{x^3-3x-3}=f(x)=\frac{x^3-3x}{x^3-3x-3}=f(x)=1+\frac{3}{x^3-3x-3}$$
Para un primer esbozo
- determinar el dominio
- encontrar el valor para algún punto "especial" y/o "simple" como x=0,1,etc.
- encontrar el valor para el cual el denominador = 0 (y por lo tanto la asimetría vertical)
- encontrar el límite en $\pm \infty$
Entonces, para un estudio completo necesitamos usar derivados.
