Encuentra la distancia entre la línea y el plano

Question

Encuentra la distancia entre la línea $x-z=3, x+2y+4z=6$ y el avión $3x+2y+2z=5$ .

Lo que he hecho hasta ahora,

Encontramos el vector cruzando $1,0-1$ y $1,2,4$ desde la primera línea

La línea es paralela al plano $\langle 2,-5,2\rangle \cdot \langle 3,2,2 \rangle = 0$

Creo que mi siguiente paso es encontrar un punto en la línea 1 que satisfaga ambas ecuaciones y luego insertar esos valores en el plano $3(x)+2(y)+2(z)=5$ y utilizar la fórmula, $$ \frac{(3(x)+2(y)+2(z)-5)}{(3^2+2^2+2^2)}$$ para encontrar la distancia.

Los valores que calculo no coinciden con la respuesta publicada de $7/\sqrt{17}$

Answer 1

Pista: La recta y el plano (como has observado) son paralelos. La distancia del plano a la recta es, por tanto, la distancia del plano a cualquier punto en la línea. Así que elige cualquier punto de la línea y utiliza "la fórmula" para encontrar la distancia de este punto al plano.

Answer 2

Si $z=t,$ para la línea dada $x=z+3=t+3$ y

$x+2y+4z=6$ o, $t+3+2y+4(t)=6$ o, $2y=3-5t$

Así, cualquier punto de la línea dada es $(t+3,t,\frac{3-5t}2)$

La distancia de $(t+3,t,\frac{3-5t}2)$ de $3x+2y+2z=5$ es $$\left|\frac{3(t+3)+(3-5t)+2(t)-5}{\sqrt{3^2+2^2+2^2}}\right|=\frac 7{\sqrt {17}}$$

Si no fuera una constante (lo que se debe al paralelismo), tendríamos que encontrar $t$ de manera que la distancia sea mínima.

Answer 3

Poner $(P_1): x - z -3 = 0$ , $(P_2): x+2y+4z=6$ , $(P_3): 3x + 2y +2z -5 = 0$ y $\Delta$ es la intersección de dos planos $(P_1)$ y $(P_2)$ . Tenemos, un vector normal del plano $(P_1)$ es $a = (1,0,-1)$ un vector normal del plano $(P_2)$ es $b = (1,2,4)$ . Un vector de dirección $v$ de $\Delta$ es el producto cruzado de $a$ y $b$ Por lo tanto $v = (3, 2, 2)$ . De otra manera, $M=(3, \dfrac32, 0)$ se encuentra en $\Delta$ y no pertenece a $(P_3)$ Por lo tanto $\Delta$ es paralela al plano $(P_3)$ . Tenemos, la distancia entre la línea $\Delta$ al avión $(P_3)$ es la distancia desde el punto $M$ al avión $(P_3)$ . A partir de aquí, la respuesta es $$\dfrac{|3\cdot 3 + 2\cdot\dfrac{3}{2} + 2\cdot 0 - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 2^2}} = \dfrac{7\sqrt{17}}{17}.$$