Teorema de Tauber y teorema de los números primos

Question

Dejemos que $\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p$ sea la función de Chebyshev. Es bien sabido que $\lim_{x\to\infty}\frac{\theta(x)}{x}=1$ es equivalente al teorema del número primo: $\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\log x}=1$ .

En el artículo de Zagier: La breve prueba de Newman del teorema de los números primos, Zagier demostró que la integral $$\int_1^\infty\frac{\theta(x)-x}{x^2}dx$$ es convergente y de ahí podemos deducir $\lim_{x\to\infty}\frac{\theta(x)}{x}=1$ .

De manera más general, Dejemos que $A(x)$ sea una función real integrable y $$\int_1^\infty\frac{A(x)-cx}{x^2}dx$$ es convergente. Si suponemos que $A(x)$ es creciente y no negativa o si existe otra función $B(x)$ tal que $B(x)$ y $B(x)-A(x)$ tanto en aumento como no negativo y $\int_1^\infty\frac{B(x)-\beta x}{x^2}dx$ es convergente para algún $\beta$ El resultado es correcto (Ver el libro de Jameson: El teorema de los números primos, proposición 3.4.1(página 130)).

Mi pregunta es: ¿Podemos deducir $\lim_{x\to\infty}\frac{A(x)}{x}=c$ sólo a partir de la convergencia de la integral $\int_1^\infty\frac{A(x)-cx}{x^2}dx$ ?

Answer 1

Si sustituimos $A(x)$ por $A(x)-cx$ nos preguntamos si la convergencia de $\int_1^\infty A(x)dx\,/x^2$ implica que $A(x)/x\to0$ como $x\to\infty$ .

Se pueden crear contraejemplos incluso con $A(x)\ge0$ . Sea $A(x)$ ser cero, salvo por "picos" de altura $n$ y la anchura $1/n$ centrado en $x=n$ . La integración de dicho pico le dará una constante $c$ y ponderando el pico por $1/x^2$ dará una integral de orden $O(1/n^2)$ . Esto hará que la convergencia de $\int A(x)\,dx/x^2$ . Pero $A(x)/x$ oscilará entre $0$ y $1$ .

Es necesario en este tipo de teoremas tauberianos tener alguna regularidad extra en las funciones involucradas.