convolución de la función gaussiana y sinc.

Question

Tengo unos datos que sé que son la convolución de una función sinc (artefacto de la transformada de Fourier) y una gaussiana (del modelo subyacente). Me gustaría ajustar estos datos a una forma funcional de la convolución - ¿existe una forma analítica de la convolución de una sinc y una gaussiana?

Answer 1

Transformada de Fourier de $\operatorname{sinc}(x)$ es $$ \hat{\operatorname{sinc}}(\omega) = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(x) \mathrm{e}^{i x \omega} \mathrm{d} x = \pi \operatorname{rect}(\omega) = \left\{ \begin{array}{cc} \pi & -1 < \omega < 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. $$

La transformada de Fourier de la densidad gaussiana es su función característica: $$ \phi(\omega) = \exp\left( i \mu \omega - \frac{\sigma^2 \omega^2}{2} \right) $$ La convolución que se busca es la transformada de Fourier inversa del producto de las transformadas de Fourier: $$ \begin{eqnarray} f(z) &=& \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{\operatorname{sinc}}(-\omega) \phi(\omega) \mathrm{e}^{-i \omega z} \mathrm{d} \omega \\ &=& \frac{1}{2 } \int_{-1}^1 \phi(\omega) \mathrm{e}^{-i \omega z} \mathrm{d} \omega = \int_0^1 \cos((\mu-z) \omega) \exp\left(-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2} \right) \mathrm{d} \omega \\ &=& \frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(z-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \left( \frac{1}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}} - i \frac{z-\mu}{\sqrt{2} \sigma}\right) - \frac{1}{2} \operatorname{erf}\left(-\frac{\sigma}{\sqrt{2}} - i \frac{z-\mu}{\sqrt{2} \sigma}\right) \right) \end{eqnarray} $$