La pregunta que me he encontrado leyendo un libro de texto es la siguiente:
Demuestre que si $n \in \mathbb{Z}_+$ y $a, b\in\mathbb{Z}$ tienen $(a,n)=(b,n) = (\mathrm{ord}_na,\mathrm{ord}_nb)=1$ entonces $\mathrm{ord}_n(ab) = (\mathrm{ord}_na)(\mathrm{ord}_nb)$
Agradezco cualquier ayuda. Gracias.
Lema 1. Si $A$ es un grupo abeliano, $a,b\in A$ , entonces el orden de $ab$ divide el mínimo común múltiplo de los órdenes de $a$ y de $b$ .
Prueba. Dejemos que $m$ sea el mínimo común múltiplo de los órdenes de $a$ y $b$ . Entonces $a^m = b^m = 1$ (ya que $m$ es un múltiplo del orden), por lo que $(ab)^m = a^mb^m = 1$ . Así, el orden de $ab$ divide $m$ . $\Box$
Lema 2. Si $A$ es un grupo abeliano, $a,b\in A$ y $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle = \{1\}$ , entonces el orden de $ab$ es igual al mínimo común múltiplo de los órdenes de $a$ y de $b$ .
Prueba. Dejemos que $k$ sea un número entero tal que de $(ab)^k=1$ . Entonces $(ab)^k = a^kb^k = 1$ Por lo tanto $a^k = b^{-k}$ . Por lo tanto, $a^k,b^{-k}\in\langle a\rangle\cap\langle b\rangle =\{1\}$ . Así que el orden de $a$ divide $k$ y el orden de $b$ divide $k$ así, el lcm de las órdenes divide $k$ . En particular, el lcm de los pedidos divide el orden de $ab$ y por el lema 2, el orden de $ab$ divide el lcm. Así, el orden de $ab$ es igual al lcm de los pedidos. $\Box$
Lema 3. Si $A$ es un grupo abeliano, y $a$ y $b$ tienen órdenes relativamente primos, entonces $\langle a\rangle\cap\langle b\rangle = \{1\}$ .
Prueba. Si $x\in \langle a\rangle\cap\langle b\rangle$ entonces $x=a^i = b^j$ para algunos $i$ y $j$ . Así, el orden de $x$ divide el orden de $a$ y el orden de $b$ por lo que divide el gcd del orden; pero como los órdenes son relativamente primos, el gcd es $1$ . Así, $x$ es de orden $1$ Por lo tanto $x=1$ . $\Box$
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