¿Puede la mecánica lagrangiana ser justificada sin hacer referencia a la mecánica newtoniana?

Question

¿Existen formas de justificar la mecánica lagrangiana como fundamento de la física clásica, sin referirse a la mecánica newtoniana? En otras palabras, ¿cuál es la razón o intuición más profunda por la cual $$\int_{t_0}^{t_1} T-V$$ debe ser mínima, más allá del hecho de que las ecuaciones que genera coinciden con la mecánica newtoniana? ¿No hay una razón más profunda?

Todos los recursos que he consultado (clases que tomé hace años, libros, Wikipedia, PDFs aleatorios) siguen esencialmente la misma cadena de razonamiento: $$\substack{\text{observación}\\ \text{intuición}\\ \text{principios físicos} } \implies \text{mecánica newtoniana} \Longleftrightarrow \text{mecánica lagrangiana}$$

Esta pregunta es básicamente si la cadena de razonamiento puede ser intercambiada, de la siguiente forma: $$\substack{\text{observación}\\ \text{intuición}\\ \text{principios físicos} } \overset{?}{\Longrightarrow} \text{mecánica lagrangiana} \Longleftrightarrow \text{mecánica newtoniana}$$

Answer 1

Dado que el Lagrangiano resulta en exactamente las mismas ecuaciones de movimiento que las leyes de Newton, diría que, basado en su acuerdo con el experimento, ambos están en igualdad de condiciones.

Por supuesto, para obtener las ecuaciones correctas de movimiento de la ecuación de Lagrange, debes elegir el Lagrangiano correcto, entonces surge la pregunta de cómo elegimos sistemáticamente el Lagrangiano correcto. La receta en mecánica es $$ \mathcal{L} \equiv T - U \, , $$ entonces surge la pregunta de cómo encontramos sistemáticamente $T$ y $U$. Desde una perspectiva puramente teórica, encontrar $T$ y $U$ está en el mismo nivel que elegir las formas de diversas fuerzas utilizadas en la ley de Newton. La diferencia práctica es que la fuerza se puede definir de una manera que la relaciona con experimentos simples, por lo que pedagógicamente comenzamos con la fuerza.

La pregunta específicamente pregunta si la observación, la intuición y los principios físicos llevan naturalmente a la formulación Lagrangiana. Una perspectiva es que el principio de mínima acción es el principio físico del universo, por lo que desde esa perspectiva la respuesta es "sí".

No diría que la intuición conduce a la formulación Lagrangiana, pero tampoco diría que la intuición conduce a la ley de Newton . Es bastante impactante cuando aprendemos por primera vez que un objeto no perturbado por fuerzas externas se mueve a velocidad constante. ¡Esto no es sorprendente dado cuánto tiempo le llevó a la humanidad descubrirlo!

¿Qué pasa con la observación? Ciertamente, las observaciones correctas conducen naturalmente a la ley de Newton. Coloca una pluma encima de un libro y suéltalos y verás caer la pluma tan rápido como el libro. Empuja más fuerte un carrito y se acelerará más rápido. La formulación Lagrangiana no surge de observaciones diarias como esas.

Sin embargo, al final la formulación Lagrangiana definitivamente puede aparecer antes que las leyes de Newton. No hay nada más arbitrario o infundado en dictar las formas de $T$ y $U$ para varios sistemas que en dictar la forma de $F$ en esos mismos sistemas, por lo que la respuesta a la pregunta principal de si el Lagrangiano se puede desarrollar sin hablar de las leyes de Newton es definitivamente "sí". Elige cualquier sistema físico y definitivamente podemos describirlo y analizarlo con el principio de mínima acción sin hablar nunca de fuerza o las leyes de Newton. De hecho, hay muchos sistemas no mecánicos donde las leyes de Newton no funcionan en absoluto pero el principio de mínima acción funciona increíblemente bien (por ejemplo, spin, circuitos).

Resumen: Dictar que los sistemas físicos minimizan $\int T-U \, dt$ y dictar cómo escribir $T$ y $U$ para cada tipo de sistema no es más arbitrario que dictar que los sistemas físicos obedecen $F=ma$ y dictar cómo escribir $F$ para cada tipo de sistema.

EDITAR: Como se menciona en los comentarios, es posible (y típico en algunos entornos) adivinar la forma de un Lagrangiano para un sistema basándose casi enteramente en principios de simetría. Esto funciona incluso para cosas como la invarianza de Lorentz; puedes derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la invarianza de Lorentz, la conservación de la carga y algunas suposiciones sobre la estructura del espacio-tiempo. Esto hace que el Lagrangiano sea argumentablemente más general que las leyes de Newton. Dicho esto, también es posible adivinar la forma de las fuerzas para un sistema a partir de los mismos principios de simetría, por lo que no siempre es realmente cierto que el Lagrangiano sea realmente más fundamental.

Answer 2

Con un fuerte dominio del Álgebra de Lie y Cálculo de variaciones, "Invariante Variationsprobleme" debe proporcionar toda la base que uno necesita para construir la Mecánica Newtoniana (y mucho más). La razón más profunda por la que usamos cualquiera de estos formalismos es que concuerdan con el experimento; que un formalismo prediga al otro es mucho menos valioso que predecir resultados experimentales.

Desde una perspectiva de intuición, si asumes que las leyes de la física deben ser las mismas en cualquier lugar, velocidad, orientación, etc..., podrías 'derivar' la mecánica lagrangiana, pero necesitarías acceder a matemáticas mucho más avanzadas que simplemente seguir el camino 'estándar' de la física.

Answer 3

¿Se puede justificar la Mecánica Lagrangiana sin hacer referencia a la Mecánica Newtoniana?

Sí; se pueden deducir las leyes de Newton a partir de ella.

La pregunta es ¿deberíamos hacerlo?

Al deducir las leyes de Newton estamos perdiendo el aspecto crucial de la inducción; el procedimiento inverso y en cierto sentido más difícil; es decir, el descubrimiento y la invención de una teoría que cubra un rango más amplio de fenómenos.

Los conceptos que se incluyen en la Mecánica Lagrangiana son aquellos que aparecieron por primera vez en una forma exacta en la Mecánica Newtoniana.