Conjuntos algebraicos afines: ¿Conjuntos abiertos y cerrados?

Question

¡Señoras y señores!

Esperaba que pudieras aclarar algo que debería ser menor para mí, ya que he estado un poco confundido por declaraciones aparentemente contradictorias sobre si las variedades son conjuntos abiertos o cerrados, una situación que no se hace más fácil por el hecho de que es perfectamente posible que sean ambos.

Como me enseñaron en geometría algebraica básica, los conjuntos algebraicos afines son los conjuntos cerrados de la topología de Zariski. Sin embargo, en Wikipedia, leo que "todo subconjunto abierto de una variedad es una variedad".

Decidí tratar de ver un ejemplo sencillo, pero las cosas se volvieron más confusas allí. Por ejemplo, consideremos el conjunto algebraico afín $V_1 = V((x^2+2x-1)(y-1)-z) \subset \mathbb{C}^3$ con el subconjunto algebraico $V_2 = V(y, x^2+2x+z-1)$ . Por lo que puedo decir, $V_2$ tendría que ser abierto, ya que es un barrio para cada punto en él (a menos que estoy haciendo algún error grave). ¿Pero tendría que ser simultáneamente cerrado ya que es un subconjunto algebraico?

¿Estoy en lo cierto o equivocado? En cualquier caso, ¿cómo?

Si ninguno de los dos $V_1$ o $V_2$ son abiertas, ¿podría alguien proporcionarme algunos ejemplos razonablemente buenos de subconjuntos abiertos de $\mathbb{C}^3$ en la topología de Zariski.

Gracias de antemano.

Answer 1

Tampoco $V_1$ ni $V_2$ están abiertas en $\Bbb C^3$ . Están cerrados (ya que son $V$ de algún ideal), por lo que si cualquiera de ellos fuera abierto, sería un componente conexo de $\Bbb C^3$ con complemento no trivial (el origen no está en ninguno de ellos). Esto implicaría que $\Bbb C^3$ está desconectado en la topología de Zariski, lo cual es falso ( $\Bbb C^3$ tiene álgebra de coordenadas $\Bbb C[x,y,z]$ que es un dominio integral, por lo que es irreducible y en particular conectado).

En cuanto a un ejemplo de subconjunto abierto de $\Bbb C^3$ en la topología de Zariski, aquí hay algunos:

• $\{(x,y,z)\in\Bbb C^3 \mid x\neq 0\}$
• $\{(x,y,z)\in\Bbb C^3 \mid x^2+y^2+z^2\neq 0\}$
• $\{(x,y,z)\in\Bbb C^3 \mid xyz\neq 0\}$
• $\{(x,y,z)\in\Bbb C^3 \mid (x,y,z)\neq (0,0,0)\}$ .

En cuanto a lo que ocurre con la wikipedia, yo diría que te encuentras con un par de cuestiones diferentes al mismo tiempo. En primer lugar, el concepto de variedad tal y como lo describes en tu post (conjunto algebraico cerrado en $k^n$ para un número entero $n$ y un campo $k$ ) se convierte rápidamente en algo más sofisticado, por lo que algunas cosas que uno lee sobre las "variedades" tienen más o menos sentido (o, de hecho, no son totalmente correctas) dependiendo de dónde se encuentren el lector y el escritor en el continuo de definiciones de las variedades. En segundo lugar, a veces la gente tiene definiciones realmente diferentes, lo que se pone de manifiesto una vez que la gente empieza a formular la variedad como "esquema + adjetivos". Por ejemplo, en gran parte de Hartshorne, una variedad es (o es equivalente a) un esquema integral separado de tipo finito sobre un campo, mientras que otros libros o artículos dejan de lado cualquier número de esas suposiciones, permitiendo por ejemplo variedades reducibles, variedades no reducidas, etc. En tercer lugar, la gente a menudo no es muy precisa sobre cuál es su definición de "variedad", lo que puede llevar a una mayor confusión entre los lectores, especialmente los que son nuevos en el tema. Sólo diré que una vez que se adopta la idea de que una variedad es un esquema con algunos adjetivos, la afirmación de Wikipedia es correcta y muy rápida a partir de las definiciones (suponiendo que se hayan elegido los adjetivos adecuados).