Considere los espacios vectoriales $V$ y $W$ de las dimensiones $m$ y $n\geq m$ respectivamente. Tanto el grupo lineal especial $\operatorname{SL}(V)$ así como el grupo lineal general $\operatorname{GL}(V)$ actúan suave y libremente desde la derecha sobre el colector liso de monomorfismo $\operatorname{Mono}(V;W)$ por precomposición. Denotemos el espacio de los totalmente descomponibles $m$ -vectores en $W$ por $\bigwedge^m_sW$ .
Fijar una base $e_1,\ldots,e_m$ de $V$ y definir el mapa suryectivo $$\pi\colon \operatorname{Mono}(V;W)\to \bigwedge\nolimits^m_sW\setminus\{0\}, A\mapsto Ae_1 \wedge \cdots \wedge Ae_m.$$ Puedo demostrar que el mapa $\Phi\colon \operatorname{Mono}(V;W)/\operatorname{SL}(V) \to \bigwedge^m_sW\setminus\{0\}$ definido por $\Phi([A]_{\operatorname{SL}}) = \pi(A)$ está bien definida y es biyectiva. Análogamente, puedo demostrar que $\Psi\colon \operatorname{Mono}(V;W)/\operatorname{GL}(V) \to \bigwedge^m_sW\setminus\{0\}$ definido por $\Phi([A]_{\operatorname{GL}}) = \{t \pi(A)\colon t\in\mathbb{R}^{\times}\}$ está bien definida y es biyectiva. Por lo tanto, el siguiente diagrama conmuta:
Mi cuestión principal es si $\Phi$ y $\Psi$ son difeomorfismos. Para empezar a demostrar esto, cada espacio debería ser una variedad suave. Sé que por la incrustación de Plücker $\mathbb{P}(\bigwedge^m_sW\setminus\{0\})$ es el Grassmanniano y, por lo tanto, una variedad compacta y suave de dimensión $m(n-m)$ . El cociente de la parte inferior derecha también debe tener dimensión $nm-m^2=m(n-m)$ pero no estoy seguro de cómo mostrar que es un colector liso. Si $\operatorname{GL}$ actuado correctamente entonces el teorema del colector cociente sería mi amigo. ¿Es este el caso?
El cociente en el centro de la derecha debe tener la dimensión $nm-(m^2-1)=m(n-m)+1$ . El totalmente descomponible $m$ -Los vectores son una variedad proyectiva de dimensión "no proyectiva". $m(n-m)+1$ . Así que estos argumentos al menos me indican, afortunadamente, que mis pruebas de bijetividad no son falsas. No estoy seguro de que los espacios del nivel intermedio sean realmente variedades. En este nivel, además, el mapa $\pi$ sí depende de la base elegida mientras que (un mapa análogo) en el nivel inferior no. ¿Quizás otro indicio de que la compactación en el nivel inferior hace las cosas "mejor"?
¿Qué "regularidad" de $\Phi$ ¿podría esperar? Quiero demostrar que los vectores totalmente descomponibles son isomorfos al cociente medio derecho en una categoría apropiada.
