Dada una métrica d, demostré que d/(1+d) es una métrica. Ahora quiero comprobar si preserva los conjuntos abiertos. Si un conjunto U es abierto en (X,d), entonces ¿es abierto en (X,d')? Sea $x \in U$ , sea r>0 tal que $B(x,r)\subset U$ . He intentado dejar que r'=r/(1+r) y r'=r(1-r), así como algunos otros candidatos probables, pero no puedo demostrar que en general la apertura se conserva. Sin embargo, tampoco puedo encontrar un ejemplo contrario.
Se agradece cualquier ayuda
Dejemos que $B(x,r) := \{y\in X:\ d(y,x) < r\}$ y $B'(x,\rho) := \{y\in X:\ \varphi(d(y,x)) < \rho\}$ , donde $\varphi(t) := t/(1+t)$ , $t\geq 0$ .
Basta con demostrar que, para cada $x\in X$ y $r>0$ existe $\rho > 0$ tal que $B(x,r) \supset B'(x,\rho)$ y viceversa.
Una inclusión sigue inmediatamente observando que $B(x,r) = B'(x, \varphi(r))$ .
La otra inclusión se produce al observar que $\varphi$ es una biyección creciente entre $[0,+\infty)$ y $[0,1)$ para que $$ B'(x,\rho) = \begin{cases} B(x, \rho(1-\rho)), &\text{if}\ \rho\in [0,1),\\ X, &\text{if}\ \rho \geq 1. \end{cases} $$
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