Un diagrama de homomorfismos de grupo

Question

Consideremos el diagrama conmutativo de homomorfismos de grupo: $$\require{AMScd} \begin{CD} A @>{f}>> B\\ @V{h}VV @V{k}VV \\ C @>{g}>> D \end{CD}$$ Si ambos $f$ y $g$ son inyectivas y $h$ es un isomorfismo, ¿qué podemos decir de $k$ ?

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Supongo que puede ser cierto que $k$ también es inyectiva. Por definición $k\circ f=g\circ h$ . Puedo ver que $\ker k\circ f=1$ . Pero no veo ninguna información sobre $\ker k$ . ¿Cómo debo seguir?

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[Añadido:] La pregunta se basa en el siguiente problema: $$\require{AMScd} \begin{CD} 1@>>> A @>{f_1}>> B@>{f_2}>>C@>>>1\\ \ @V{h}VV @V{k}VV @VV{j}V \\ 1@>>> D @>{g_1}>> E@>{g_2}>>F@>>>1 \end{CD}$$ Se supone que las dos líneas del diagrama conmutativo son secuencias exactas cortas y $h$ y $j$ son isomorfismos. Demuestre que $k$ debe ser también isomorfismo.

He pensado que podría dividir el diagrama en dos partes y mostrar que $k$ es 1-1 y onto. Gracias al comentario, parece que esto no funciona en absoluto.

Answer 1

Vamos a mostrar $k$ es en. Dado $y \in E$ ya que $g_2\circ k = j\circ f_2$ es onto, existe $x \in B$ tal que $g_2(k(x)) = g_2(y)$ . Por lo tanto, $k(x) - y \in \text{ker}(g_2) = g_1(E)$ .

Desde $h$ es onto, existe $z \in A$ tal que $g_1(h(z)) = k(x) - y$ . Pero $g_1(h(z)) = k(f_1(z))$ y por lo tanto $k(x - f_1(z)) = y$ .

Ahora vamos a mostrar $k$ es 1-1. Supongamos que hay $x_1,x_2 \in B$ tal que $k(x_1) = k(x_2)$ . Entonces $j(f_2(x_1)) = g_2(k(x_1)) = g_2(k(x_2)) = j(f_2(x_2))$ . Por lo tanto, $f_2(x_1) = f_2(x_2)$ . Por lo tanto, $x_1 - x_2 \in \text{ker}(f_2) = f_1(A)$ . Por lo tanto, $x_1 - x_2 = f_1(z)$ para algunos $z \in A$ . Por lo tanto, $0 = k(x_1 - x_2) = k(f_1(z)) = g_1(h(z))$ . Desde $g_1\circ h$ es 1-1, tenemos $z = 0$ .

Answer 2

No me di cuenta de que esto es en realidad un caso especial (lema de los cinco cortos) de la cinco lemas en álgebra homológica, sobre la que tengo casi cero conocimientos.

El artículo de la wikipedia ofrece una buena presentación de la prueba.