Consideremos el diagrama conmutativo de homomorfismos de grupo: \require{AMScd} \begin{CD} A @>{f}>> B\\ @V{h}VV @V{k}VV \\ C @>{g}>> D \end{CD} Si ambos f y g son inyectivas y h es un isomorfismo, ¿qué podemos decir de k ?
Supongo que puede ser cierto que k también es inyectiva. Por definición k\circ f=g\circ h . Puedo ver que \ker k\circ f=1 . Pero no veo ninguna información sobre \ker k . ¿Cómo debo seguir?
[Añadido:] La pregunta se basa en el siguiente problema: \require{AMScd} \begin{CD} 1@>>> A @>{f_1}>> B@>{f_2}>>C@>>>1\\ \ @V{h}VV @V{k}VV @VV{j}V \\ 1@>>> D @>{g_1}>> E@>{g_2}>>F@>>>1 \end{CD} Se supone que las dos líneas del diagrama conmutativo son secuencias exactas cortas y h y j son isomorfismos. Demuestre que k debe ser también isomorfismo.
He pensado que podría dividir el diagrama en dos partes y mostrar que k es 1-1 y onto. Gracias al comentario, parece que esto no funciona en absoluto.