¿La incrustación totalmente continua implica la convergencia de la subsecuencia?

Question

Hay una parte de la prueba en un teorema, que no entiendo. Voy a escribir el teorema y la prueba hasta el punto, donde estoy atascado

Teorema: Existe una constante $c=c(Q,k,p,n)$ tal que $$|\tilde{v}|_{k+1,p,Q}\leq\|\tilde{v}\|_{k+1,p,Q}\leq c |\tilde{v}|_{k+1,p,Q}$$ para cualquier $\tilde{v}\in W^{k+1,p}(Q)/P_k$ .

Prueba:

Dejemos que $\varphi_1,...,\varphi_N$ sea una base de $P_k$ , $f_1,...,f_N$ la base dual, por lo que $f_i(\varphi_j)=\delta_{ij}$ .

Primero mostraremos que existe una constante $c=c(Q,k,p,n)$ tal que $$\|v\|_{k+1,p,Q}\leq c (|v|_{k+1,p,Q}+\sum_{i=1}^N|f_i(v)|)\ \ \forall v\in W^{k+1,p}(Q)\ \ \ (*)$$ La prueba se hará por contradicción, por lo que supondremos que $(*)$ no se sostiene. Eso implica que $$\forall m\in \mathbb{N}\ \exists v_m\in W^{k+1,p}(Q):\ \|v_m\|_{k+1,p,Q}> m (|v_m|_{k+1,p,Q}+\sum_{i=1}^N|f_i(v_m)|)$$ Sin pérdida de generalidad: $\|v_m\|_{k+1,p,Q}=1$ . Esto implica: $$\lim_{m\rightarrow\infty}\left(|v_m|_{k+1,p,Q}+\sum_{i=1}^N|f_i(v_m)|\right)=0$$

Ahora viene la parte que no entiendo:

La incrustación de $W^{k+1,p}(Q)$ en $W^{k,p}(Q)$ es totalmente continua. Esto implica: $\exists v\in W^{k,p}(Q)$ , $\{v_m\}$ subsecuente s.t. $$\|v_m-v\|_{k,p,Q}\rightarrow0$$

El libro de texto en realidad no dice "subsecuencia de qué secuencia" $\{v_m\}$ es. Supongo que se supone que es la continuación de $\{v_m\}$ se llama igual. ¿Es correcta mi suposición? ¿Y por qué una incrustación totalmente continua implica este hecho?

Answer 1

Es un teorema de compacidad llamado teorema de Rellich-Kondrachov, que dice que si tienes una secuencia $\{v_n\}$ limitado en $W^{1,p}(\Omega)$ con $\Omega$ acotada y con frontera suave, entonces se puede encontrar una subsecuencia $\{v_{n_{k}}\}$ de $\{v_n\}$ que converge en $L^p(\Omega)$ a una función $v$ . Esta función está en $W^{1,p}(\Omega)$ si $1<p<\infty$ y en $BV(\Omega)$ si $p=1$ . Entonces por inducción se puede extender a secuencias acotadas en $W^{k+1,p}(\Omega)$ . La prueba utiliza las incrustaciones por lo que es diferente en los tres casos (crítico, subcrítico y supercrítico). Asumo que $p>1$ para ti y que $Q$ es un cubo o un bonito dominio acotado. De todos modos, sí la subsecuencia de $\{v_n\}$ no se reetiqueta.