Frobenius Descenso

Question

Deje $S$ ser un esquema de característica positiva $p$ $X$ liso $S$-esquema. Deje $F:X\rightarrow X^{(p)}$ denotar la relación Frobenius. Un resultado por Cartier (a menudo llamado Cartier descenso o Frobenius descenso), a continuación, afirma que la categoría de cuasi-coherentes $\mathcal{O}_{X^{(p)}}$-módulos es equivalente a la categoría de cuasi-coherentes $\mathcal{O}_X$-módulos de $(E,\nabla)$ integrable con conexión de $p$-curvatura $0$ (lo que significa que $\nabla(D)^p-\nabla(D^p)=0$ todos los $S$-derivaciones $D:\mathcal{O}_X\rightarrow \mathcal{O}_X$). La equivalencia es dada por

$$(E,\nabla)\longmapsto E^\nabla$$

y

$$E\mapsto (F^*E,\nabla^{can})$$

donde $\nabla^{can}$ es la canónica conexión localmente dado por $f\otimes s\mapsto (1\otimes s)\otimes df$, para

$$f\otimes s\in \mathcal{O}_X(U)\otimes E(U).$$ (tensor sobre las secciones de la estructura de la gavilla de $X^{(p)}$, de alguna manera jtex no puede manejar eso)

La prueba de este teorema se puede encontrar en 5.1. en Katz " de papel "Nilpotent conexiones y la monodromy teorema"

Mi pregunta es: Como $X/S$ es suave, la relativa Frobenius es fielmente plano (al menos es si $S$ es el espectro de un campo perfecto), el teorema anterior debe interpretarse como un ejemplo de fidelidad plana descenso a lo largo de $F$? En otras palabras, ¿la conexión de $\nabla$ dar lugar a un descenso de referencia para $E$ con respecto al $F$?

Sé que las conexiones son de "primer orden descenso de datos", es decir, módulos con conexión a descender a lo largo de primer orden engrosamientos, pero no veo cómo esto se aplica aquí.

Answer 1

Creo que la respuesta es sí, y que esto puede haber sido uno de Grothendieck de las motivaciones para el desarrollo de la teoría general de la plana descenso. (Si mal no recuerdo, en la primera (?) exponer de FGA, en el que explica plana descenso, Grothendieck tiene una referencia a la obra de Cartier que implican el descenso en el contexto de la inseparabilidad de las extensiones, y me imagino que es una referencia a este Cartier, o Frobenius, el descenso. Puede nadie cofirm esto?)

Para poner una conexión en $E$ es extender la acción de la $\mathcal O_X$ a una acción de $\mathcal D_X$, el anillo de operadores diferenciales generados (en coordenadas locales) por $\partial /\partial x_1,\ldots,\partial/\partial x_n.$ (Este no es el mismo que el de full ring de los operadores diferenciales en charateristic $p$.) El $p$-curvaturas generar un ideal en este anillo; creo que es el ideal generado por a $(\partial/\partial x_i)^p$. Así que si $E$ tiene fuga $p$-curvatura, la acción de la $\mathcal D_X$ factores a través de el cociente por este ideal. Ahora uno puede interpretar esta información en términos de bajada de datos.

Una descripción precisa es dada en la Proposición. 2.6.2 de Berthelot del libro D-módulos arithmetiques II; Descente par Frobenius.