Deje $S$ ser un esquema de característica positiva $p$ $X$ liso $S$-esquema. Deje $F:X\rightarrow X^{(p)}$ denotar la relación Frobenius. Un resultado por Cartier (a menudo llamado Cartier descenso o Frobenius descenso), a continuación, afirma que la categoría de cuasi-coherentes $\mathcal{O}_{X^{(p)}}$-módulos es equivalente a la categoría de cuasi-coherentes $\mathcal{O}_X$-módulos de $(E,\nabla)$ integrable con conexión de $p$-curvatura $0$ (lo que significa que $\nabla(D)^p-\nabla(D^p)=0$ todos los $S$-derivaciones $D:\mathcal{O}_X\rightarrow \mathcal{O}_X$). La equivalencia es dada por
$$ (E,\nabla)\longmapsto E^\nabla$$
y
$$ E\mapsto (F^*E,\nabla^{can})$$
donde $\nabla^{can}$ es la canónica conexión localmente dado por $f\otimes s\mapsto (1\otimes s)\otimes df$, para
$$f\otimes s\in \mathcal{O}_X(U)\otimes E(U).$$ (tensor sobre las secciones de la estructura de la gavilla de $X^{(p)}$, de alguna manera jtex no puede manejar eso)
La prueba de este teorema se puede encontrar en 5.1. en Katz " de papel "Nilpotent conexiones y la monodromy teorema"
Mi pregunta es: Como $X/S$ es suave, la relativa Frobenius es fielmente plano (al menos es si $S$ es el espectro de un campo perfecto), el teorema anterior debe interpretarse como un ejemplo de fidelidad plana descenso a lo largo de $F$? En otras palabras, ¿la conexión de $\nabla$ dar lugar a un descenso de referencia para $E$ con respecto al $F$?
Sé que las conexiones son de "primer orden descenso de datos", es decir, módulos con conexión a descender a lo largo de primer orden engrosamientos, pero no veo cómo esto se aplica aquí.
