Primer método de Pascal

Question

Así que el primer método de Pascal fue resolver primero un problema simple, esto fue antes del triángulo de Pascal.

Esto es en relación con el problema de De Meres: Cada jugador apuesta $32$ pistolas. Un jugador tiene 1 ronda y el otro no tiene ninguna. $3$ rondas son necesarias para ganar. Cómo se divide si la partida se interrumpe antes de completarse?

Así es como mi profesor lo resolvió, estoy un poco confundido de dónde sacó algunos de los valores.

$$(2,0) \implies 1/2 (64) + 1/2 (48) =56 $$ Jugador $1$ consigue $56$ y el jugador $2$ consigue $8$ por lo que la relación es $7:1$ .

El $(2,0)$ representa el número de partidos ganados por cada jugador. Estoy tratando de averiguar cómo consiguió el $64$ y $48$ . Se agradece cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Su profesor utiliza la ley de la expectativa total donde condiciona el resultado de una ronda más.

Para ello, primero hay que haber resuelto el caso en el que el primer jugador ha ganado dos rondas y el segundo una ronda. Si los jugadores jugaran una ronda más, entonces el jugador uno ganaría toda la apuesta de $64$ ganando la tercera ronda, o los jugadores estarían empatados si el jugador uno pierde la tercera ronda. En este último caso sería justo repartir la apuesta de forma equitativa, con $32$ pistolas a cada uno. Calculando el valor esperado para el jugador uno, obtenemos $$ (2,1) \quad \Longrightarrow \quad {1\over 2}\cdot 64 + {1\over 2}\cdot 32 = 48$$ Ahora podemos considerar el caso de que el primer jugador haya ganado dos rondas y el segundo ninguna. Imaginemos que juegan una ronda más. Cualquiera de los dos jugadores gana, y se lleva toda la apuesta de $64$ o pierde y nos encontramos en la situación anterior en la que su parte justa es $48$ . Así que $$ (2,0) \quad \Longrightarrow \quad {1\over 2}\cdot 64 + {1\over 2}\cdot 48 = 56$$