Ejercicio sobre polinomios separables sobre campos de característica primera

Question

Habiendo aprendido hoy en clase sobre los polinomios separables, he intentado hacer el siguiente ejercicio relativo a los polinomios separables, a saber:

Supongamos que $f$ es el polinomio mínimo de $a$ sobre un campo $F$ de característica primera. Sea $K = F[a]$ . Entonces $f$ es separable si $F[a^p] = K$ .

Ahora una dirección que he probado, que no es separable implica $F[a^p] \subsetneqq F[a]$ . Para la otra dirección, tengo algunos problemas al final( que describiré).

Supongamos que $f$ es separable y dejemos que $g$ sea el polinomio mínimo de $a$ en $F[a^p]$ . Demostramos que $g$ tiene grado uno por lo que $a \in F[a^p]$ , lo que demuestra que $F[a] = F[a^p]$ . Supongamos que consideramos $g,f$ como polinomios en $\big(F[a]\big)[x]$ . Entonces $g(a) = f(a) = 0$ en $\big(F[a]\big)[x]$ . Desde $$[F[a]:F] > \bigg[F[a]:F[a^p] \bigg],$$

esto significa que $g |f$ . Ahora escribe $f(x) = (x-a)u$ donde $u$ es un polinomio con coeficientes en $F[a]$ . Entonces observamos que como $a$ es algebraico sobre $F$ , $F[a] = F(a)$ que es un campo, por lo tanto trivialmente un UFD. Por tanto, el anillo polinómico $\big( F[a] \big)[x]$ es un UFD para que $g$ siendo irreducible es realmente primo. Ahora lo que quiero hacer es demostrar que si $g|f$ entonces $g$ debe dividir $(x-a)$ forzando $g = (x-a)$ hasta la multiplicación por una unidad.

Supongamos que $g \nmid (x-a)$ para que $g|u$ por $g$ siendo un elemento primo en $\big(F[a]\big)[x]$ . Desde $f$ es separable su derivada no es cero, por lo que si $g$ divide $f'(x) = (x-a)u' + u$ entonces tendré mi contradicción deseada. Esto es porque tendremos $g|u$ y $g|u'$ lo que implica que $u$ tiene una raíz múltiple, lo que contradice $f$ que no tiene raíces múltiples.

El problema ahora es cómo sé que $g|f'(x)$ ? Si no es cierto aquí que $g|f'(x)$ ¿se puede salvar el planteamiento que he hecho arriba?

Como referencia, puede ser útil el siguiente teorema: Sea $f$ sea un polinomio irreducible en $F[x]$ . Los siguientes son equivalentes:

(1) $f(x)$ no es separable.

(2) $f'(x) = 0$

(3) $\operatorname{Char} F = p >0$ y $f$ es un polinomio en $x^p$

Answer 1

Si $F[a]=F[a^p]$ entonces $a=P(a^p)$ para algunos $P(X)\in F[X]$ . Por lo tanto, $f(X) \mid P(X^p)-X$ . Este último polinomio es separable (es decir, no tiene una raíz múltiple en un cierre algebraico de $F$ ) porque su derivada es $1\ne 0$ . Así que $f(X)$ también es separable.

Por el contrario, si $F[a]\ne F[a^p]$ entonces la extensión $F[a^p] \to F[a]$ es puramente inseparable y $a$ es inseparable sobre $F[a^p]$ por lo que son inseparables sobre $F$ .

Editar Algunos detalles más sobre la inversa. Denote por $b=a^p$ . Como $a\notin F[b]$ , $X^p-b\in F[b][X]$ es irreducible (cualquier factor es de la forma $(X-a)^r$ para algunos $r\ge 1$ . Pero $(X-a)^r\in F[b][X]$ implica que $r=p$ ). Por lo tanto, es el polinomio mínimo de $a$ en $F[b][X]$ . Al dividir $f(X)$ El segundo es inseparable.

Answer 2

No creo que su enfoque pueda ser salvado, porque $f$ que es separable equivale a $\gcd(f,f')=1$ Así que $g\mid f$ implica que sólo podemos tener $g\mid f'$ si $g$ es una unidad, que ciertamente no lo es.