Si $I_{n+1}\subset I_n$ , demuestran que $\bigcap_{n=1}^\infty I_n$ es no vacía

Question

Pregunta: Si $I_n$ es cerrado y acotado, $I_{n+1}\subset I_n$ y $I_n\neq\emptyset$ , demuestran que $\bigcap_{n=1}^\infty I_n$ es no vacía.

Esta no es una pregunta de ayuda para los deberes. En realidad estoy buscando una prueba específica que no 1) apele al teorema de Heine-Borel y 2) utilice las nociones de convergencia o de secuencias.

Recuerdo haber visto antes una prueba de este tipo, pero no recuerdo dónde.

Adendas: Sabemos que $I_n\subset\mathbb R^k$ . O bien sabemos $I_n$ es compacta o que es cerrada y acotada, pero no ambas (olvido la información inicial exacta dada, pero agradecería una solución desde cualquier dirección).

Answer 1

Como se trata de una secuencia decreciente de conjuntos, podríamos tratar el espacio ambiental como $I_1$ . Entonces estamos en un espacio compacto y tenemos una secuencia decreciente de conjuntos cerrados no vacíos.

Pero ahora recordamos la siguiente caracterización de la compacidad:

Si $\{A_i\mid i\in I\}$ es una familia de conjuntos cerrados, tal que la intersección de cada colección finita de $A_i$ es no vacía, entonces $\bigcap_{i\in I}A_i\neq\varnothing$ .

Así que basta con ver que para toda colección finita de $I_n$ tienen una intersección no vacía. Pero eso es fácil porque la intersección de $I_{i_1}\cap\ldots\cap I_{i_n}$ es sólo $I_k$ para $k=\max\{i_j\mid j\leq n\}$ . Desde $I_k$ es no vacía, tenemos la propiedad deseada.

Por compacidad tenemos que $\bigcap I_n\neq\varnothing$ .

Answer 2

Esta prueba está tomada del bebé Rudin, p. 38. Aquí, $\{I_n\}$ es una secuencia de intervalos en $\mathbb{R}$ .

" Si $I_n = [a_n, b_n]$ , dejemos que $E$ sea el conjunto de todos los $a_n$ . Entonces $E$ es no vacía y está acotada por encima (por $b_1$ ). Sea $x$ sea el sup de $E$ . Si $m$ y $n$ son enteros positivos, entonces $$a_n \leq a_{m+n} \leq b_{m+n} \leq b_m,$$ para que $x\leq b_m$ para cada $m$ . Dado que es obvio que $a_m\leq x$ vemos que $x\in I_m$ para cada $m = 1,2,3,\ldots.$ "

Answer 3

Dejemos que $X = I_1$ que es compacto.

Dejemos que $U_n = I_1-I_n $ . El $U_n$ están abiertos y anidados. Supongamos que $\displaystyle \cap_{n=1}^\infty I_n$ está vacía. Entonces el $U_n$ portada $I_1$ por lo que, por compacidad, existe una subcubierta finita $U_{n_j}$ . Entonces $$\displaystyle \bigcup_{j=1}^mI_1 -I_{n_j} =I_1,$$ así que $$\bigcap_{j=1}^mI_{n_j}=I_{n_m}=\emptyset$$ - una contradicción