¿Cuál es la necesidad del espacio nulo izquierdo?

Question

Entiendo el significado intuitivo y la necesidad práctica del espacio de columnas, el espacio de filas y el espacio nulo.

Pero no puedo entender la necesidad real del espacio nulo de la izquierda.

Sé que el espacio nulo izquierdo es ortogonal al espacio de filas y que complementa la imagen completa de 4 subespacios fundamentales.

Pero, ¿cuál es la necesidad/intuición práctica del espacio nulo izquierdo, si sabemos que todos los vectores que no están en el espacio de las filas no tienen soluciones?

Answer 1

Por intuición, una matriz dada $A\in\Bbb R^{n\times m}$ determina dos mapas lineales por multiplicación a la izquierda o a la derecha:

1. Una toma $n$ vectores columna dimensionales a $m$ vectores columna dimensionales:
   $L_A:=\ v\mapsto A\cdot v$
2. Y el otro toma $m$ vectores fila dimensionales a $n$ vectores fila dimensionales:
   $R_A:=\ w\mapsto w\cdot A$

El espacio de la columna es la imagen de $L_A$ el espacio de la fila es la imagen de $R_A$ .
El espacio nulo es el núcleo de $L_A$ y el espacio nulo izquierdo es el núcleo de $R_A$ .