Problema de probabilidad condicional dada una variable binomial - probabilidad conjunta e independencia

Question

Una prueba que verifica si las piezas producidas en serie cumplen la norma no es completamente fiable.

$C$ La parte está a la altura de la norma

$R$ La pieza está clasificada como conforme a la norma

Lo sabemos: $Pr(\bar{C})=20\%$ $Pr(\bar{R}|C)=13\%$ $Pr(R|\bar{C})=11\%$

En este problema, se eligen al azar 43 piezas para ser verificadas.

a) Calcule la probabilidad de que 8 piezas se clasifiquen como no conformes.

Mi respuesta : Empecemos por encontrar $Pr(\bar{R})$

$Pr(C)=1-Pr(\bar{C})=0.8$

$Pr(R|C)=1-Pr(\bar{R}|C)=0.87$

$Pr(R)=Pr(R|\bar{C})Pr(\bar{C})+Pr(R|C)Pr(C)=0.718$

$Pr(\bar{R})=1-Pr(R)=0.282$

Encontré que $\bar{R}$ sigue una distribución binomial de parámetros $n=43$ y $p=Pr(\bar{R})=0.282$

Así que, $Pr(\bar{R}=8)=\left( \begin{array}{c} n \\ 8 \end{array} \right)p^{8}(1-p)^{n-8}=0.0534$

b) Sabiendo que la prueba clasifica 8 piezas como no conformes, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente 12 piezas no conformes?

Mi respuesta : La fórmula que quiero utilizar es

$Pr(\bar{C}=12|\bar{R}=8)=\frac{Pr(\bar{C}=12 \bigcap \bar{R}=8)}{Pr(\bar{R}=8)}$

pero soy consciente de que no es tan sencillo. Tengo que empezar por determinar si las variables son independientes o no. Si $C$ y $R$ son independientes, entonces $Pr(\bar{C}=12|\bar{R}=8)=Pr(\bar{C}=12)$ .

Para determinar si son o no independientes necesito encontrar la distribución conjunta, pero estoy atascado.

¿Puedo utilizar de alguna manera $f_{Y|X=x}(y)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ ? Y si es así, ¿cómo puedo encontrar $f_{Y|X=x}(y)$ ?

Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

Hay que ser más preciso en la notación. $R$ y $C$ así como sus complementos, son eventos no son variables aleatorias. Por lo tanto, necesitamos una notación adicional. Sea $X$ representan el número aleatorio de piezas que, de hecho, no cumplen la norma; y $Y$ representan el número aleatorio de piezas clasificadas como no conformes. A continuación, $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 43, p = \Pr[\bar C] = 0.2),$$ y $$Y \sim \operatorname{Binomial}(n = 43, p = \Pr[\bar R] = 0.282).$$ Se trata de distribuciones marginales y dependientes.

La respuesta a la primera parte de su pregunta es $$\Pr[Y = 8] \approx 0.0534247.$$

Para la segunda parte, debemos emplear el teorema de Bayes: $$\Pr[X = 12 \mid Y = 8] = \frac{\Pr[Y = 8 \mid X = 12]\Pr[X = 12]}{\Pr[Y = 8]}.$$ El denominador ya ha sido calculado. Además, es evidente que $$\Pr[X = 12] = \binom{43}{12}(0.2)^{12} (1 - 0.2)^{43 - 12} \approx 0.0622211.$$ La única cantidad que queda es $\Pr[Y = 8 \mid X = 12]$ . Razonamos que hay $12$ realmente no está a la altura de las piezas estándar, y el número $Y_{\bar C}$ de estas piezas que no están clasificadas hasta la norma es el binomio con $n_{\bar C} = 12$ y $p_{\bar C} = \Pr[\bar R \mid \bar C] = 0.89$ . Del mismo modo, el número $Y_C$ de piezas que no están clasificadas según la norma, dado que sí lo están, es un binomio con $n_C = 43 - 12 = 31$ y $p_C = \Pr[\bar R \mid C] = 0.13$ . Estas dos variables aleatorias son, de hecho, independientes. Por lo tanto, $$\begin{align} \Pr[Y = 8 \mid X = 12] &= \sum_{y=0}^8 \Pr[Y_{\bar C} = y]\Pr[Y_C = 8-y] \\ &= \sum_{y=0}^8 \binom{12}{y} (0.89)^y (1-0.89)^{12-y} \binom{31}{8-y} (0.13)^{8-y} (1-0.13)^{31-(8-y)} \\ &\approx 0.000860467. \end{align}$$ Por lo tanto, la probabilidad deseada es $$\Pr[X = 12 \mid Y = 8] \approx \frac{(0.000860467)(0.0622211)}{0.0534247} = 0.00100214.$$