Supongamos que tenemos un Esquema de $X$ sobre el campo de $k$, donde un campo puede ser, aunque para ser $\mathbb{C}$ o un campo finito $\mathbb{F}_q$. Entonces teniendo esto en mente, ¿Dónde podemos encontrar algunos ejemplos representativos donde la Geometría gobierna la aritmética? Es decir, los ejemplos donde la geometría (o topología) de $X$ $\mathbb{C}$ dicta la aritmética comportamiento de $\mathbb{F}_q$.
Las respuestas, junto con las referencias sería muy apreciada.
Mira Dan Abramovich Birational geometría para el número de teóricos de la
Vamos a empezar con el más elemental ejemplo: espacio proyectivo $\mathbb P^n$. No es difícil ver que el número de puntos en los que siempre es $q^n + q^{n-1} + \dots + q + 1.$
Tenga en cuenta que esto es debido a que $\mathbb P^n$ siempre se puede descomponer en simples piezas: $\mathbb A^n \cup \mathbb A^{n-1}\cup\dots\cup \mathbb A^0$. Curiosamente, algo similar se aplica a todos los $\mathbb F_q$-variedades. Específicamente, el Lefschetz puntos fijos de la fórmula de la topología aplicada a la aritmética da la siguiente instrucción de una variedad $X/\mathbb F_q:$
Existen algunos números algebraicos $\alpha_i$ $|\alpha_i| = q^{n_i/2}$ algunos $(n_i)$, que el número de puntos de $$\\# X(\mathbb F_{q^l}) = \sum_i (-1)^{n_i}\alpha^l_i\quad \text{for}\\ l > 0 .$$
Los números de $\alpha_i$ provienen de hecho de la geometría: son valores propios de algunos de los operadores que actúan en etale cohomology grupos $H_{et}(X)$. En particular, los números de $n_i$ sólo puede ocupar un intervalo entre 0 y $\text{dim}\\, X$, y existen muchos de ellos como la dimensión de este grupo.
Estos grupos pueden compararse directamente con el caso de $\mathbb C$ cada vez que se construye la variedad en una forma geométrica. Para ver cómo, considere el ejemplo de curvas. Más de $\mathbb C$ el cohomology tiene la forma $\mathbb C \oplus \mathbb C^{2g} \oplus \mathbb C\ $ algunos $g$ llamado género; la misma cuenta con más de $\mathbb F_q$:
Estos teoremas, que proporciona un inesperado connecion entre la topología y la aritmética de algunos de hace medio siglo, fueron sólo el comienzo del estudio de las variedades de más de $\mathbb F_q$ el uso de la intuición geométrica que viene desde el complejo caso.
Usted puede leer más en cualquier decente introducción a la aritmética geometría o étale cohomology. También hay algunas preguntas acerca de los motivos que son un poco más abstracto de la versión de la imagen de arriba.
Como una respuesta a Ben comentario anterior acerca de la reconstrucción del género si conoces $X_n = \#X(F_{q^n})$:
Usted sabe con la certeza de que $1 + q^n - X_n = \sum \alpha_i^n\ $ para algunos números algebraicos $\alpha_i, i = 1, 2, \dots $ tener la propiedad $|\alpha_i| = \sqrt q.$
No puede haber dos soluciones diferentes a $(\alpha_i)$ $(\beta_i)$ para una secuencia dada de $X_n$ porque si $N$ es un número tal que tanto $\alpha_i = \beta_i = 0$$i>N$, en tanto $\alpha$ $\beta$ se determina únicamente a partir de la primera $N+1$ términos de la secuencia.
Para una secuencia dada únicamente determina el género.
No sé, sin embargo, si un algoritmo constructivo que garantice a terminar y regresar género para una secuencia $X_n$ es posible. La primera idea es recorrer números naturales, prueba de la conjetura de que el género es menos de $N$, pero parece ser que hay algunos matices.
E. Kowalski, acaba de publicar un muy buén encuesta en relación a este asunto: "Mi principal interés ha sido el de tratar de presentar algunas de la teoría y las aplicaciones que rodean la Deligne Equidistribución Teorema, para no especialistas (en particular, para los lectores con poca experiencia en la geometría algebraica)". Deligne del teorema y el trabajo de Katz y otros más tarde que son difíciles de entrar, esta encuesta proporciona una especie de puente.
Una respuesta breve es: con el fin de relacionar una variedad de más de un campo finito con un uno más de los números complejos, un 'bonito' modelo para ellos a lo largo de un cierto número de campo es necesario. Si este modelo existe, entonces las variedades en cuestión han isomorfo etale cohomology grupos. Probablemente ellos también tienen isomorfo etale homotopy tipos; entonces, l-terminaciones de sus homotopy grupos son isomorfos. Nota aquí: etale cohomology 'casi calcula singular cohomology de complejo de variedades, y completamente calcula el número de puntos de una variedad de más de un campo finito.
Mira Garmon del artículo sobre "la Aritmética de Curvas".
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