¿Alguien conoce un significado bonito (por ejemplo, geométrico) pero no del todo trivial de la combinatoria de la suma $$ \sum_{1\leqslant a<b\leqslant n}ab=1\cdot2+1\cdot3+1\cdot4+\ldots+(n-1)\cdot n\quad? $$
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Es fácil ver que $$(1+2+...+n)^2=1^2+2^2+...+n^2+2S$$ y así $$S=\frac{1}{2}\left [\left ( \sum_\limits{i=1}^{n}i \right )^2 - \sum_\limits{i=1}^{n}i^2 \right]$$ Ahora, la idea es ver $a^2$ combinatoria como la respuesta a la siguiente pregunta:
"tienes una moneda azul y otra roja y $a$ diferentes personas. ¿De cuántas maneras puedes dar las monedas a las personas (dar las dos a la misma persona)?".
$\sum_\limits{i=1}^{n}i$ es el número de elementos de una pirámide (bidimensional) con base $n$ . Por lo tanto, $2S$ es la respuesta a la pregunta:
Hay $1+2+...+n$ personas dispuestas en una pirámide. ¿De cuántas maneras se les puede dar una moneda azul y otra roja, de modo que esté prohibido dar ambas monedas a $2$ personas en la misma fila?
Como ahora no podemos dar a la misma persona $2$ monedas, dividiendo por $2$ es simplemente ignorar las dos identidades distintas de las monedas, es decir $S$ es la respuesta al mismo problema pero con monedas idénticas.
Observe que su suma puede escribirse como $$s_n={1\over2}\left(\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2-\sum_{k=1}^n k^2\right)\ .$$ Esto sugiere la siguiente visión combinatoria:
Imagine un conjunto triangular de discos con $n$ discos en la fila inferior, $n-1$ disco en la siguiente fila, y así sucesivamente, terminando con un solo disco en la parte superior. ¿De cuántas maneras se pueden marcar dos de estos discos, no los dos en la misma fila horizontal?
El resultado es $$s_n={1\over24}(3n^4+2n^3-3n^2-2n)\ .$$
