En un anillo $R$ con identidad $,$ si todo idempotente es central $,$ entonces demuestre que $a$$ b $ $ = $ $ 1 $$,$$ ( $$a$$ , $$b$$ \en $$R$$ ) $$,$ implica que $b$$ a $ $ = $ $ 1$. Por favor, ayuda. Estoy atascado.
Respuestas
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rschwieb
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Jennifer
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$(ba)^2=b(ab)a=ba$ Así que $ba$ es idempotente, por lo que es central.
Así, $$\forall x\in R, bax=xba$$ Si $x=a$ tenemos $ba^2=aba\Rightarrow ba^2=a$ porque $ab=1$ .
Si $x=b$ tenemos $bab=b^2a\Rightarrow b=b^2a$ porque $ab=1$ .
Combinando estas dos igualdades obtenemos : $$ab=(ba^2)(b^2a)=ba(ab)ba=b(ab)a=ba$$ Desde $ab=1$ tenemos $ba=1$ .
jorgeegroj
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No he hecho mucha teoría de los anillos últimamente, pero dime si esto funciona:
Su anillo $R$ tiene todos los elementos idempotentes también centrales. Y tiene $ab = id$ .
toma eso y multiplícalo $ab*ab = ab*id = id$ así que ahora sabemos que ab es idempotente.
ahora vamos a utilizar el hecho de que es central $ab*b^{-1} = b^{-1}*ab$ porque $ab$ es idempotente y por tanto central, por lo que $ab*x = x*ab \forall x \in R$
$ab*b^{-1} = a$ por $b*b^{-1} = id$ pero también $ab*b^{-1}= b^{-1}$ por $ab = id$
sabemos ahora, entonces, que $a = b^{-1}$ .
Por lo tanto, ya que hay inversiones multiplicativas únicas en la teoría de los anillos, $ab = ba = 1$ ( $ab = b^{-1}*b$ y $ba = b*b^{-1}$ que por definición son $1$ )
