Sé que el álgebra lineal y el análisis (especialmente la teoría de la medida) son importantes. ¿Es útil tomar cursos de posgrado en análisis real y complejo? ¿Debo tomar cursos de álgebra abstracta más allá de los cursos introductorios, por ejemplo, álgebra conmutativa y geometría algebraica?
Respuestas
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Action Hank
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En mi opinión, algunas opciones para investigar a nivel de posgrado podrían ser: el análisis funcional (un marco natural para las formulaciones estadísticas), los procesos estocásticos, el control estocástico (el análisis secuencial es la parada óptima), varios sabores de EDP (muchos problemas probabilísticos se formulan como EDP parabólicas y no lineales). Casi todo esto requiere un análisis real a nivel de licenciatura. Si te interesan los temas teóricos, también es muy importante cursar teoría de la medida como requisito previo para el tratamiento completo de estos temas. El análisis complejo tendrá alguna utilidad, pero menos que lo anterior; hay conexiones con la probabilidad (por ejemplo, funciones armónicas), pero podría muy bien no valer la pena
El álgebra conmutativa y la geometría algebraica no serán muy útiles (una conexión que se me ocurre es la estadística algebraica, que no se enseña mucho). Estos temas también serán muy difíciles sin una sólida formación en matemáticas.
user36539
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Aksakal
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Haz un análisis real, pero no de la forma en que veo que la gente lo hace. Cuando entrevistamos a estudiantes de matemáticas, parece que no dominan las herramientas del análisis real, cosas sencillas como tomar integrales están fuera del alcance de la mayoría de ellos. Todavía no entiendo por qué. Así que mi consejo es que presten atención a las aplicaciones en primer lugar.
También se puede obtener un curso de ODE y PDE, y de análisis funcional y geometría diferencial. También álgebra lineal y tensores, por supuesto. Todo ello enfocado a las aplicaciones.
Vamsee
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En cuanto al álgebra conmutativa y la geometría algebraica, los temas que menos se tratan en las otras respuestas, mi impresión es que mientras se evite la estadística algebraica, se puede prescindir totalmente de ella. Sin embargo, evitar la estadística algebraica puede ser cada vez más difícil en el futuro, ya que tiene muchas aplicaciones e intersecciones con el aprendizaje automático/estadístico, que es muy prominente en la investigación actual, así como aplicaciones en otras áreas. El álgebra conmutativa y la geometría algebraica son las materias que más conviene aprender específicamente para la estadística algebraica, véase por ejemplo las respuestas a esta pregunta: Geometría algebraica para la estadística
En cambio, todos los subcampos de la estadística utilizan el análisis. (Pero no tanto el análisis complejo, aunque puede ser útil para entender las funciones características, un punto que parece no haberse planteado todavía). Creo que la teoría de la medida a nivel de licenciatura sería probablemente suficiente, ya que he conocido a estadísticos profesionales (por ejemplo, profesores de los mejores departamentos) que desprecian la teoría de la medida, pero si realmente quieres entender la teoría de la medida, un curso de posgrado en análisis real es una gran ayuda. La teoría de la medida en la licenciatura tiende a centrarse exclusivamente en la medida de Lebesgue en la línea real, que tiene un montón de buenas propiedades que las medidas generales no necesariamente tienen, y además es una medida infinita. Por el contrario, un curso de análisis real a nivel de postgrado tiende a poner más énfasis en las medidas abstractas, lo que hace que las medidas de probabilidad en general sean más fáciles de entender, y también hace que la relación entre las medidas de probabilidad continuas y discretas sea más clara - en otras palabras, podrás ver ambos temas unidos dentro de un marco en tu mente por primera vez. Asimismo, uno podría demostrar el teorema de extensión de Kolmogorov en un curso de este tipo. Y la comprensión de las medidas abstractas es realmente indispensable para una comprensión rigurosa de los procesos estocásticos en tiempo continuo. Incluso es útil para entender los procesos estocásticos en tiempo discreto, aunque es menos importante que en el caso continuo.
