¿Se equivoca David Tong en esta observación sobre la mecánica clásica en sus conferencias sobre QM?

Question

En la página 11 de su Conferencias de Mecánica Cuántica Tenemos la siguiente cita:

Resulta que no todas las teorías clásicas pueden escribirse con un hamiltoniano. A grandes rasgos, sólo las teorías que tienen conservación de la energía pueden formularse de esta manera.

Ahora, esto me parece extraño. Dado que el hamiltoniano es simplemente la transformada de Legendre del lagrangiano, debería haber hamiltonianos de sistemas no conservativos siempre que exista un lagrangiano para dicho sistema. Un buen ejemplo es el lagrangiano electromagnético. ¿Es simplemente una observación que no pretende ser demasiado precisa?

Answer 1

De hecho, creo que la afirmación del libro de Tong es bastante ambigua (aunque no es definitivamente falsa, como discuto a continuación). En principio no hay relación entre la posibilidad de una formulación hamiltoniana y la conservación de la energía. Un oscilador armónico con potencial $k(t)x^2/2$ admite una formulación hamiltoniana aunque $k$ depende del tiempo y, por tanto, la energía no se conserva.

Desde el punto de vista físico, este sistema se puede obtener calentando continuamente el muelle del oscilador, es decir, añadiendo continuamente energía externa al sistema. Esta es la razón por la que no se conserva. Sin embargo, existe una función hamiltoniana, la habitual $p^2/2m + k(t)x^2/2$ que produce las ecuaciones de movimiento correctas.

Otro ejemplo es un punto de material limitado a permanecer en un eje sin fricción $x$ . Este eje gira alrededor del origen $O$ con velocidad angular constante $\Omega$ en un marco de referencia inercial. El punto material no conserva su energía en el sistema de referencia inercial, porque hay que añadir energía continuamente para conservar la rotación, pero el sistema admite una formulación hamiltoniana con el hamiltoniano $H= p^2/2m - m\Omega^2 x^2/2$ .

Lo que sí es cierto es que la formulación hamiltoniana no es posible cuando hay fuerzas físicas cuyo Componentes lagrangianos cambiaría el volumen del espacio de las fases durante la evolución del sistema, violando así el teorema de Liouville. Este es el caso de las fuerzas disipativas. (Hay una excepción para los sistemas unidimensionales señalada por la respuesta de @Qmechanic, segundo punto, obtenida aprovechando un enfoque no convencional). Estas fuerzas son también un obstáculo para la conservación de la energía. Creo que el libro sólo pretendía remarcar este hecho utilizando ese "a grandes rasgos".

Sin embargo, para los sistemas macroscópicos, la energía no se conserva también debido a una dependencia temporal de algún parámetro macroscópico que describe el sistema o debido a la naturaleza de las restricciones. En estos casos, todavía es posible una formulación hamiltoniana.

Answer 2

Bueno, en defensa de Tong insertó la frase a grandes rasgos para indicar que la observación no es precisa.

1. Respecto a que la fuerza de Lorentz no es una fuerza conservadora según la definición tradicional porque su potencial depende de la velocidad, propuse una definición diferente en mi respuesta de Phys.SE aquí .

2. La forma de proporcionar una formulación lagrangiana o hamiltoniana de los sistemas disipativos se discute, por ejemplo, en este Puesto de Phys.SE.

3. Para ejemplos en los que el hamiltoniano no es la energía total, véase por ejemplo este & este Mensajes de Phys.SE.

Answer 3

Estoy de acuerdo con usted en que no es tan preciso. Porque si el fallo de la conservación de la energía viene del hecho de que para las fuerzas participantes no hay potencial $U$ (es decir, las fuerzas son no conservativas), entonces no se puede escribir ningún Lagrangiano $L=T-U$ y la ecuación del movimiento deben ampliarse con fuerzas disipativas. Por lo tanto, ni $L$ ni $H$ son suficientes para describir el m.e. Véase, por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(Hamiltonian)#Oscilador_armónico_amortiguado

Por otro lado, si la energía no se conserva porque aunque $U$ existe, es dependiente del tiempo, uno puede, por supuesto, formular la ecuación de movimientos enteramente en términos del Lagrangiano y por lo tanto del Hamiltoniano.

Supongo que por eso añadió el adverbio "aproximadamente" al principio.