Demostrar con respecto a la cantidad mínima de raíces de un polinomio de potencia par.

Question

Demostrar que: si un polinomio de grado par toma cualquier valor cuyo signo es opuesto al de su coeficiente de mayor potencia, entonces tiene al menos dos raíces en $\Bbb R$ .

Para demostrar esta afirmación he empezado por formalizar lo anterior. Dejemos: $$ f(x) = a_{2n}x^{2n} + a_{2n-1}x^{2n-1} + \cdots + a_{1}x + a_0 $$

Queremos demostrar que existen al menos dos puntos $x', x''$ tal que..: $$ f(x') = f(x'') = 0 $$

Reescribe el polinomio de la siguiente manera: $$ f(x) = a_{2n}x^{2n}\left(1 + {a_{2n-1}\over a_{2n}}\cdot{1\over x} + {a_{2n-2}\over a_{2n}}\cdot{1\over x^2} + \cdots + {a_{1}\over a_{2n}}\cdot{1\over x^{2n-1}} + {a_0\over a_{2n}}\cdot{1\over x^{2n}}\right) $$

Considere el caso cuando $a_{2n} > 0$ . Tomando el límite como $x\to\infty$ observamos: $$ \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\\ \lim_{x\to-\infty} f(x) = +\infty $$

Por el enunciado del problema, sabemos que existe al menos una $x_0 \in\Bbb R$ tal que $f(x_0) < 0$ para $a_{2n} > 0$ . Ahora dividimos el dominio de la función en dos partes: $x \in (-\infty; x_0)$ y $x\in (x_0; +\infty)$ . Ahora vamos a aplicar el teorema del valor intermedio a ambos intervalos.

Desde $f(x) \stackrel{x\to-\infty}{\to} +\infty$ y $f(x_0) < 0$ entonces debe existir $x' \in (-\infty; x_0)$ tal que: $$ f(x') = 0 $$

Desde $f(x) \stackrel{x\to+\infty}{\to} +\infty$ y $f(x_0) < 0$ entonces debe existir $x'' \in (x_0; +\infty)$ tal que: $$ f(x'') = 0 $$

Así, hemos encontrado $x', x''$ tal que $f(x) = 0$ en esos puntos. En caso de $a_{2n} < 0$ podríamos multiplicar el polinomio por $-1$ y aplicar lo anterior, o utilizar un razonamiento similar para los negativos $a_{2n}$

Me gustaría pedir la verificación de mi prueba y/o señalar los errores. Gracias.

Answer 1

Esto tiene buena pinta. Sólo un comentario. Es posible que el enunciado del Teorema del Valor Intermedio que invocas sólo se aplique a intervalos acotados. En este caso, no puedes invocar el teorema en los intervalos $(-\infty,x_{0})$ y $(x_{0},+\infty)$ . Sin embargo, como usted sabe $f(x)\to+\infty$ como $x\to-\infty$ y como $x\to+\infty$ , usted sabe que hay valores $a<x_{0}<b$ tal que $f(a),f(b)>0$ . Entonces, se puede aplicar el Teorema del Valor Intermedio a los intervalos acotados $[a,x_{0}]$ y $[x_{0},b]$ .