¿Cómo comprobar si una métrica curva satisface las ecuaciones de Einstein?

Question

Así que me he encontrado con hilos sobre cómo comprobar la solución del vacío de las ecuaciones de campo de Einstein. Pero digamos que alguien me da una métrica similar a la de AdS, o la métrica C de AdS, por ejemplo. Si por inspección no reconozco la forma exacta de la métrica, ¿cómo podría hacer una comprobación de consistencia para ver si la métrica resuelve la ecuación de Einstsins?

Básicamente puedo calcular el tensor de Einstein, $G_{\mu \nu}$ . Pero, ¿entonces qué?

La verdad es que me sale algo muy complicado en mi caso particular. No sé cómo hacer un ojo de la cara y decir algo al respecto.

Si la métrica fuera de Minkowski sé que la métrica de Einstein debería desaparecer. Pero de nuevo, ¿qué pasa si quiero comprobar si es AdS y comprobar que resuelve explícitamente las ecuaciones de Einstein?

Answer 1

La respuesta sarcástica a esta pregunta es que cada La métrica resuelve la ecuación de Einstein para algún tensor de tensión-energía. Para encontrar ese tensor de tensión-energía, basta con calcular el tensor de Einstein, multiplicarlo por $c^4/8\pi G$ (en las unidades que quieras), y ese es el tensor de tensión-energía correspondiente. Este método de generar soluciones a la ecuación de Einstein recibe a veces el nombre irónico de El método de Synge.

Este método es similar a la generación de soluciones a las ecuaciones de Maxwell escribiendo un conjunto de potenciales escalares y vectoriales en función del espacio y el tiempo y, a continuación, averiguando qué cargas y corrientes las producen tomando las divergencias y rizos adecuados. Por supuesto, las cargas y corrientes que son las "fuentes" de los campos pueden no ser físicamente interesantes (repartidas por todo el espacio, divergiendo como $t \to \infty$ etc.) Del mismo modo, si escribo una métrica arbitraria, el tensor de tensión-energía correspondiente puede no ser físicamente significativo.

Sin embargo, un resultado particularmente agradable que puede encontrar es que cuando calcula $G_{ab}$ resulta ser algún múltiplo escalar de la métrica $g_{ab}$ . En ese caso, el espaciotiempo está bien descrito por un tensor de tensión-energía "constante cosmológica", lo que significa que podría ser anti-de Sitter, una métrica C de AdS, o algo totalmente distinto. Por el contrario, si $G_{ab}$ no es directamente proporcional a $g_{ab}$ entonces la métrica no corresponde a un espaciotiempo tipo AdS.

Answer 2

En general hay que introducir la métrica en la ecuación de Einstein

$$G_{\mu\nu} +\Lambda g_{\mu\nu} = T_{\mu\nu}$$

que surge de la variación de la acción

$$ S = \int d^4x \sqrt{-g} \left(\frac{R-2\Lambda}{2} + \mathcal{L}_{M}\right)~,$$

donde $T_{\mu\nu}$ proviene del lagrangiano de la materia $\mathcal{L}_{M}$ .

Si su espaciotiempo satisface todos los componentes de la ecuación de Einstein, entonces es una solución de la ecuación.

En el caso de los espacios-tiempo AdS, el $g_{tt}$ de la función métrica asimila a

$$g_{tt}(r\to \infty) \sim Cr^2 $$

donde $C$ estará relacionada con la constante cosmológica.

No creo que haya una salida a este procedimiento, salvo recordar que los espacios-tiempo de Minkowski y Schwarzchild son soluciones de las ecuaciones de campo del vacío ( $T_{\mu\nu} =\Lambda=0$ ), el espaciotiempo (A)dS es una solución de la teoría de Einstein- $\Lambda$ ecuaciones de campo ( $T_{\mu\nu}=0$ ) etc.