Una cuestión relacionada con una unión de espacios topológicos

Question

Considere el espacio $$Y=\{(x_1,x_2,x_3):x_1^2+x_2 ^2+x_3 ^2=1\}\cup \{(x_1,0,0):-1\leq x_1\leq 1\}\cup\{(0,x_2,0): -1\leq x_2 \leq 1\}.$$ Así que $Y$ es esencialmente la esfera unitaria junto con los segmentos de la $x$ y $y$ -ejes dentro de la esfera.

Estoy tratando de calcular $\pi_1(Y)$ de este espacio; soy consciente de que tal vez tenga que utilizar el teorema de van Kampen a lo largo del camino, pero actualmente estoy atascado sobre cómo proceder.

Cualquier ayuda será muy útil. Gracias de antemano.

Answer 1

Echa un vistazo a este respuesta para convencerte de que tu espacio $Y$ es equivalente en homotopía al espacio $S^2 \vee S^1 \vee S^1 \vee S^1$ . Entonces puedes usar a Seifert-van Kampen para demostrar que $\pi_1(Y) \cong F_3$ es decir, el grupo libre en tres generadores. ¡Espero que esto ayude!