Exhibir un ciclo con una potencia que tenga una forma de ciclo determinada

Question

Problema: Si $$=(1~ 2)(3 ~4)(5~ 6)(7~ 8)(9~ 10)$$ determinar si existe una $n$ -ciclo $,~~n10$ tal que $=^k$ para algún número entero $k$ .

Encontré que $=(1~ 3~ 5~ 7 ~9 ~2~ 4 ~6 ~8~ 10)$ entonces $$^5=(1~ 2)(3~ 4)(5 ~6)(7~ 8)(9~ 10)$$ Pero, ¿cuál es el proceso ¿se deduce esto? ¿Cómo se deduce esto? derivado ?

Answer 1

A $10$ -el ciclo tiene orden $10$ . $\tau$ tiene orden $2$ . Por lo tanto, si $\tau$ es una potencia de un $10$ -ciclo, entonces debe ser la 5ª potencia de ese $10$ -ciclo.

Ahora escriba un general $10$ -ciclo, $(a\ b\ c\ d\ e\ f\ g\ h\ i\ j)$ y calcular su 5ª potencia, y comparar con $\tau$ para ver las posibilidades de la $10$ -ciclo.

Answer 2

Comprueba lo siguiente:

$$(i_1\,i_2)(i_3\,i_4)\cdot\ldots\cdot(i_{r-1}\,i_r)=(i_1\,i_3\,\ldots\,i_{r-1}\,i_2\,i_4\,\ldots\,i_r)^{r/2}$$

Como en el ejemplo dado en el OP, asumimos $\,i_j\neq i_k\,\,,\,\forall\,\,1\leq j\neq k\leq r\,$